Основанием прямой треугольной призмы abca₁b₁c₁ является прямоугольный треугольник abc с прямым углом c. прямые ca₁ и ab₁ перпендикулярны. аа₁=ас найдите расстояние между прямыми ca₁ и ab₁, если ac=1, bc=7√2.

СА1 и АВ1 - скрещивающиеся прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Проведем В1С2 и АМ параллельно СА1.
В1С2=СА1, АМ=СА1.
АВ1С2М - прямоугольник, так как <AB1C2=90° (так как СА1 и АВ1 перпендикулярны, (дано), а В1С2 параллельна СА1.
АВС2С - параллелограмм по построению.
В1К - высота из прямого угла. = МР (АВ1С2М- прям-к).
СР - высота из прямого угла. (тр-к АСО).
СН -  высота из прямого угла. (тр-к АСВ).
АВ=√(АС²+СВ²)=√99.
АВ1=√(А1В1²+АА1²)=√100=10.
В1С2=√(ВВ1²+С2В²)=√2.
АС2=√(АВ1²+В1С2²)=√102.
В1К=РМ=АВ1*В1С2/АС2=10*√2/√102=10/√51.
АО=АС2/2=√102/2.
СР=АС*СО/АО=1*(7√2/2)/(√102/2)=7/√51.
СМ=√(РС3²-СР²)=√(100/51-49/51)=1.
СН=СР*СМ/РМ=(7/√51)*1/(10/√51)=7/10=0,7.
ответ: искомое расстояние равно 0,7.
Координатный (векторный) метод решения:
Привяжем начало координат к точке С. Тогда имеем точки А(0;1;0), В1(7√2;0;1), А1(0;1;1) и С(0;0;0).
Вектор АВ1{7√2-0;0-1;1-0)=АВ1{7√2;-1;1},
вектор А1С{0-0;0-1;0-1}=А1С{0;-1;-1}.
Уравнение прямой АВ1: (Х-0)/7√2=(Y-1)/-1=(Z-0)/1 или Х/7√2=(Y-1)/1=Z/1.
Уравнение прямой А1С: (Х-0)/0=(Y-1)/-1=(Z-0)/-1 или X/0=(Y-1)/-1=Z/-1.
Даны скрещивающиеся прямые АВ1: Х/7√2=(Y-1)/1=Z/1.
A1C: X/0=(Y-1)/-1=Z/-1.
Через прямую AB1 проводим плоскость, параллельную прямой A1C (находим уравнение этой плоскости).
Поскольку прямая АВ1  должна лежать в плоскости , берем точку А, принадлежащую первой прямой, и её направляющий вектор:
А(0;1;0), n1{7√2;1;1} (координаты направляющего вектора - знаменатели дробей из уравнения прямой).
Находим уравнение плоскости через определитель:
|X-0  7√2  0|          X| 1 -1| -  (Y-1)|7√2  0| +  Z|7√2  0| =0.
|Y-1  1     -1|            |-1 -1|            |-1  -1|         |1   -1|
|Z-0 -1    -1| =0;
-2X-(Y-1)(-7√2)+Z(-7√2)=0
2X-7√2Y+7√2Z+7√2=0 - получили уравнение прямой с коэффициентами А=2, В=-7√2, С=7√2, D=7√2.
Расстояние от прямой до плоскости (расстояние от любой точки прямой до этой плоскости) находим по формуле:
d(С;α)=|A*Xc+B*Yc+C*Zc+D|/√(A²+B²+C²), взяв точку С(0;0;0), принадлежащую прямой СА1.
d(C;α)=7√2/√(4+98+98)=7√2/√(2(2+49+49)=7/10=0,7.
ответ: расстояние равно 0,7.

Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, заданными точками 
A(xa,ya,za) 
B(xb,yb,zb) 
C(xc,yc,zc)
D(xd,yd,zd)

q= Модуль ( Смешанное произведение ( AD ; AB ; СD)) / Модуль ( AB X CD)

Или 

|| xd-xa  yd-ya  zd-za  ||
|| xb-xa  yb-ya  zb-za  ||
|| xc-xd  yc-yd  zc-zd   ||

Корень 
| yb-ya zb-za |^2    | zb-za xb-xa |^2     | xb-xa yb-ya |^2
| yc-yd,zc-zd |     + | zc-zd xc-xd |     +  | xc-xd yc-yd |

Пусть 0 в точке С 
Ось X в сторону A 
Ось Y в сторону В
Ось Z в сторону С1

Координаты точек 
A(1;0;0)
B1(0;7√2;1)
A1(1;0;1)

      | 0     0  1 |    
      | -1 7√2 1 |
      | -1   0   1 |
q=            = 0.7
     √ |7√2 1 |^2    | 1 -1 |^2     | -1 7√2 | ^ 2 
        |0  -1    |  +    | -1-1 |    +   |-1    0   |