Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна т, а острый угол равен 60º. Через катет, противолежащий этому углу, и противоположную этому катету вершину другого основания проведено сечение, составляющее 45º с плоскостью основания. Доказать, что ∆А1СД прямоугольный. Вычислить площадь основания призмы, высоту призмы.

Для начала, давай разберемся с геометрической конструкцией задачи.

У нас есть прямая призма, у которой основание — прямоугольный треугольник. Призму мы можем представить как цилиндр, у которого верхним основанием является наш прямоугольный треугольник, а нижним основанием — его подобный, полученный путем пересечения плоскости основания с прямым сечением под углом 45º.

По условию, гипотенуза прямоугольного треугольника равна т, а острый угол равен 60º. Обозначим катет этого треугольника как a, а противоположный катет как b.

Также нам дано, что сечение проведено через катет, противолежащий острому углу, и вершину другого основания (Обозначим эту вершину буквой D). Угол между сечением и плоскостью основания составляет 45º.

Для доказательства, что треугольник А1СД является прямоугольным, нам необходимо показать, что угол А1СД равен 90º.

Рассмотрим прямую АС, проходящую через вершины А и С основания прямой призмы.

Поскольку треугольник АВС — прямоугольный, угол ВАС равен 90º.

Из геометрии, мы знаем, что если две прямые пересекаются в плоскости и угол между ними равен 45º, то прямые должны быть перпендикулярными друг другу.

Таким образом, прямая АС перпендикулярна прямой CD, и угол А1СД равен 90º.

Теперь, чтобы найти площадь основания призмы и высоту призмы, нам достаточно знать значение сторон прямоугольного треугольника.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, считая a наибольшей стороной, получаем:

a² = t² - b²,

так как гипотенуза прямоугольного треугольника равна t.

Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, имеем:

sin(60º) = b / t,

откуда b = t * sin(60º).

Теперь, чтобы найти площадь основания призмы (О), нам нужно найти площадь прямоугольного треугольника АВС.

По определению площади прямоугольного треугольника, имеем:

S(О) = (a * b) / 2 = (t * (t * sin(60º))) / 2 = (t² * sin(60º)) / 2.

Также, чтобы найти высоту призмы (h), нам потребуется найти высоту прямоугольного треугольника АВС.

Используя формулу высоты в прямоугольном треугольнике, имеем:

h = a * sin(60º) = t * sin(60º).

Таким образом, площадь основания призмы равна (t² * sin(60º)) / 2, а высота призмы равна t * sin(60º).

Итак, доказали, что треугольник А1СД прямоугольный, а площадь основания призмы равна (t² * sin(60º)) / 2 и высота призмы равна t * sin(60º).