Основание равнобедренного треугольника равно 80 см, а медиана, проведенная к нему, равна 160 см. найдите остальные две медианы этого треугольника.

△ABC - равнобедренный;

AB = BC;

BD = 160 (см), AC = 80 (см);

BD, AN, CM - медианы;

AN = ? (см); CM = ? (см).

"Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2 : 1, считая от вершины".

⇒ NO : AO = DO : BO = MO : CO = 1 : 2.

BO = 2/3 ⋅ BD = 2/3 ⋅ 160 = 320/3  (см).

DO = 1/3 ⋅ BD = 1/3 ⋅ 160 = 160/3 (см).

Поскольку отрезок BD - медиана ⇒ AD = DC = 80 ⋅ 1/2 = 80/2 = 40 (см).

Т.к. △ABC - равнобедренный ⇒ AO = OC (это равенство также можно обосновать тем, что прямоугольные треугольники AOD и COD равны, по двум катетам: AD = DC по свойству медианы BD, OD - общий катет).

Найдём АО и OC, по теореме Пифагора (c = √(a² + b²), где c - гипотенуза, a и b - катеты).

AO = √(DO² + AD²) = √((160/3)² + 40²) = 200/3 (см).

OC = √(DO² + DC²) = √((160/3)² + 40²) = 200/3 (см).

AO = 2/3 ⋅ AN, по свойству медиан треугольника.

Составим и решим уравнение (AN - x (см)):

2/3 ⋅ x = 200/3

x = 200/3 : 2/3

x = 200/3 ⋅ 3/2

x = 100

100 (см) - величина медианы AN.

Поскольку △ABC - равнобедренный ⇒ AN = CM = 100 (см).