Основание пирамиды служит равнобедренный треугольник abc, в котором ab=bc=13см, ac=10см, каждое боковое ребро пирамиды образуется ее высотой углом 30 градусов. вычислить объем пирамиды.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 13 см, AC = 10 см, каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол 30°. Вычислить объем пирамиды.

Пусть SO - высота пирамиды. Тогда
∠ASO = ∠BSO = ∠CSO = 30°,
ΔSOA = ΔSOB = ΔSOC по катету и прилежащему острому углу (выше указаны равные углы, SO - общий катет)
Значит, ОА = ОВ = ОС, точка О - равноудалена от вершин, значит О - центр описанной около ΔАВС окружности, ее радиус R = ОА = ОВ = ОС.

Площадь основания найдем по формуле Герона:
р = (АВ + ВС + АС)/2 = (13 + 13 + 10)/2 = 18 см
Sabc = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)) = √(18 · 5 · 5 · 8) = 60 см²

R = AB · BC · AC / (4Sabc) = 13 · 13 · 10 / 240 = 169/24 см

ΔSOB: ∠SOB = 90°, SO : OB = ctg30°
SO = OB · ctg 30° = 169/24 · √3 = 169√3 /24 см

V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 60 · 169√3/24 = 845√3/6 см³