Ортогональной проекцией трапеции есть равнобедренная трапеция, основы которой равны 6 см и 10 см, а диагонали перпендикулярны. найдите площадь данной трапеции, если угол между её плоскостью и плоскостью проекции составляет 45°.

Для начала, давай определим необходимые понятия и свойства.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, называемые основаниями трапеции, а другие две стороны - боковыми сторонами.

Ортогональная проекция точки на плоскость - это точка, полученная перпендикулярным отбрасыванием данной точки на плоскость.

Теперь перейдем к решению задачи.

У нас есть трапеция, у которой основы равны 6 см и 10 см. Пусть более короткая сторона (основа) обозначается как "а", а более длинная - "b". Таким образом, a = 6 см и b = 10 см.

Далее, говорится, что угол между плоскостью трапеции и плоскостью проекции составляет 45°. Это означает, что плоскость трапеции и плоскость проекции пересекаются под углом 45°.

Из данной информации можно заключить, что плоскость проекции является одним из срезов трапеции, параллельным одному из ее оснований. Другими словами, срез трапеции является равнобедренной трапецией с основаниями a и b. Так как диагонали этой равнобедренной трапеции перпендикулярны, каждая из них делит другую на две равные части.

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, воспользуемся формулой для площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2,
где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

У нас нет информации о высоте трапеции, но мы можем найти ее, воспользовавшись свойством перпендикулярности диагоналей равнобедренной трапеции.

Пусть M и N - точки пересечения диагоналей. Отрезок MN является высотой нашей трапеции.

Для нахождения длины MN воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника MNC, где C - середина одного из боковых сторон трапеции.

CM = a / 2 = 6 / 2 = 3 см (половина более короткого основания трапеции)

Диагонали этой трапеции перпендикулярны, поэтому угол NMC равен 90°. Таким образом, у нас прямоугольный треугольник MNC, в котором известны гипотенуза MC (равная половине длинного основания b/2 = 10/2 = 5 см) и один катет CM = 3 см.

Применим теорему Пифагора:
MN^2 = MC^2 - CM^2
MN^2 = 5^2 - 3^2
MN^2 = 25 - 9
MN^2 = 16
MN = 4 см

Теперь мы знаем высоту нашей равнобедренной трапеции - 4 см.

Подставим значения a, b и h в формулу для площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2
S = (6 + 10) * 4 / 2
S = 16 * 4 / 2
S = 64 / 2
S = 32 см²

Ответ: Площадь данной трапеции равна 32 квадратным сантиметрам.