Определи площадь такого сечения куба, которое проведено через диагонали соседних граней, имеющих общий конец — например, через диагонали CD1 и CA — если длина ребра куба составляет 7 см.

Хорошо, давайте решим задачу по шагам.

1. Рассмотрим сечение куба, проведенное через диагонали соседних граней. Пусть это сечение образовано прямоугольником ABCD, где AB и CD - диагонали соседних граней, а точка A - общий конец этих диагоналей.

2. Мы знаем, что длина ребра куба составляет 7 см. Так как ребра куба взаимно перпендикулярны, то грани куба - это прямоугольники со сторонами 7 см и высотой 7 см.

3. Рассмотрим грань, содержащую диагонали CD1 и CA, и найдем ее площадь. Для этого воспользуемся формулой площади прямоугольника, которая гласит: S = a * b, где S - площадь, a и b - стороны прямоугольника.

4. Длина стороны прямоугольника AB или CD равна 7 см, так как это длина ребра куба.

5. Остается найти длину стороны, соответствующей диагонали CD1. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника CDCD1, где CD и CD1 - катеты, а диагональ сечения (которая проходит через A) - гипотенуза. По теореме Пифагора получаем:
CD^2 + CD1^2 = AD^2,
7^2 + CD1^2 = (7√2)^2,
49 + CD1^2 = 49 * 2,
CD1^2 = 49 * 2 - 49,
CD1^2 = 49 * (2 - 1),
CD1^2 = 49.

6. Итак, получили, что CD1^2 = 49, значит, CD1 = 7.

7. Теперь, когда мы знаем длины сторон прямоугольника ABCD, можем найти его площадь по формуле: S = a * b = 7 * 7 = 49.

Ответ: площадь сечения куба, проведенного через диагонали соседних граней, составляет 49 квадратных сантиметров.