Окружность радиусом 4 касается внешним образом второй окружности в т.в общая касательная к этим окружностямбпрходящая через т.в пересекается с некоторой другой их общей касательной в т.а найти радиус второй окружности,если ав=6

О1 и О2 - центры окружностей.

Легко увидеть, что АО1 и АО2 - биссектрисы углов, которые образуют эти касательные. Поскольку сумма этих углов 180 градусов, то угол О1АО2 - прямой :).

Далее, ясно, что АВ перпендикулярно О1О2, то есть АВ - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике О1АО2. Она делит это треугольник на два, ему же и подобных (и между собой подобных) треугольника О1АВ и О2АВ. Поэтому

АВ/О1В = О2В/АВ; 

O2B = 6^2/4 = 9.