Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3,BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.

Ответы

annyta290802p012i5 12.10.2020 07:45

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3,BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.

* * * AD и BC основания трапеции * * *

решение : Фактически нужно определить радиус окружности около трапеции KBCD. Очевидно трапеция равнобедренная ⇒ BK = DC и ∡BKD + ∡DCB =180°. Необходимо определить некоторые ее элементы

AB²=AD*AK ( известная теорема)

* * * ΔABK ~ ΔADB * * *

AB²=(AK+KD) *AK || AK =x > 0 ||

x(x+10) =(5√3)² ⇔ x² + 10x - 75 =0 ( корни разного знака )

x₁ = - 15 _посторонний , x₂ = 5 теорема Виета ИЛИ x₁, ₂ = -5 ± 10

AK = 5

ΔABK ~ ΔDBC (по второму признаку )

(∡ABK = ◡ BK/2 = ∡BDK = ∡DBC и ∡AKB=180°- ∡BKD = ∡DCB )

AB / DB = AK / DC = BK/ BC ⇔ ( учитывая BK = DC)

AB / DB = AK / DC = DC/ BC ; DC =√AK*BC = √5*5 = 5

AB / DB = AK / DC ⇒ DB = AB*DC/AK =5√3 *5/5 = 5√3 .

Все : ΔBCD || ΔBKD || определены однозначно с тремя сторонами

Вычислить радиус окружности не представляет трудности _

в крайнем случае можно применить формулу R = abc/4S , где

S =√p(p-a)(p-b)(p-c) ( площадь по формуле Герона ).

Но в данной задаче можно заметить ,что центр O окружности совпадает со серединой отрезка KD. R =OK=OD = 5 учитывая ,что KO =DO =5= BC ⇒ четырехугольники KBCO , BCDO параллелограмм поэтому OK =DC =OB и OD=KB =OC

* * * Расчет длины радиуса еще и упрощается ввиду того , что Δ BCD оказался прямоугольным ,по обратной теореме Пифагора :

AB² +BD² =5² +(5√3)² =100 =10² = KD² . || R =5 ||

* * * не так трудно радиус определить из равнобедренного ΔBKD со сторонами BC=CD=5 ; BD=5√3 * * *