Окружность касается стороны треугольника в её середине. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник является равнобедренным, нам нужно использовать знания о свойствах окружностей и треугольников.

Дано: треугольник ABC, в котором окружность касается стороны BC в ее середине M.

Шаг 1:
Докажем, что длины отрезков AM и BM равны.
Для этого воспользуемся свойством окружностей, гласящим, что отрезок, соединяющий центр окружности с точкой ее касания, перпендикулярен касательной.
Так как окружность касается стороны BC в ее середине M, то отрезки AM и BM являются радиусами окружности и, следовательно, равны.

Шаг 2:
Докажем, что углы AMB и ABC равны.
Для этого воспользуемся свойством треугольников, гласящим, что радиус, проведенный к точке касания, делит угол касания пополам.
Так как отрезки AM и BM равны, углы, образованные этими отрезками с BC, равны.

Шаг 3:
Докажем, что угол ABC равен углу ACB.
Для этого используем теорему о равенстве углов, образованных касательной и хордой, которая гласит, что углы, образованные касательной и хордой, равны нижнему углу, образованному хордой и дугой между точками касания.
Так как окружность касается стороны BC в ее середине M, угол ABC равен углу ACB.

Шаг 4:
Из полученных результатов следует, что треугольник ABC является равнобедренным.
Так как углы AMB и ABC равны, а углы ABC и ACB также равны, получаем, что треугольник ABC имеет две равные стороны AB и AC, что является определением равнобедренного треугольника.

Таким образом, доказано, что если окружность касается стороны треугольника в ее середине, то этот треугольник является равнобедренным.