Около треугольника ABC описана окружность. AC=22, уголBAC=97°, уголACB=53°. Найдите радиус описанной окружности.

Для решения данной задачи, мы воспользуемся свойством, которое гласит: "В описанном окружности треугольнике, произведение длин сторон равно произведению радиуса описанной окружности на диаметр вписанной окружности".

Давайте обозначим радиус описанной окружности как R. Тогда диаметр вписанной окружности будет равен 2R.

Так как AC является диаметром вписанной окружности, то его длина равна 2R. Значит, AC = 2R.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC равен 97°, а угол ACB равен 53°. Вспомним свойство углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому угол ABC равен 180° - 97° - 53° = 30°.

Так, у нас получился треугольник со сторонами AC, BC и AB длиной 22, между которыми есть углы 97°, 30° и 53°.

Воспользуемся основным свойством описанного окружности треугольника: вписанный угол в дважды больший дуги равен половине величины другого вписанного угла.

У нас есть два угла: угол ABC равен 30° и угол ACB равен 53°. Величина угла в центре окружности, который соответствует дуге AC, будет равна удвоенному углу ACB. Значит, этот угол равен 2 * 53° = 106°.

У нас также есть угол между дугой AB, которая не проходит через центр окружности, и отрезком AC. Этот угол называется вписанным углом. Он будет равен половине величины обратного угла в центре окружности, то есть 106° / 2 = 53°.

Теперь у нас есть два угла в треугольнике ABC, которые соответствуют дуге AC радиуса описанной окружности.

Так как угол ACB равен 53°, то соответствующий дуге AC угол в центре окружности будет равен 2 * 53° = 106°.

Теперь мы можем использовать теорему о радиусе описанной окружности, которая гласит: "Угол, образованный хордой и радиусом, является вписанным углом, который равен половине величины угла в центре окружности с той же дугой".

Теперь у нас есть угол в центре окружности, равный 106°, и угол между хордой AC и радиусом описанной окружности, который равен 53°. Значит, у нас есть два равных вписанных угла.

Это означает, что угол, образованный отрезком AC и радиусом описанной окружности, также равен 53°.

Теперь у нас есть два равных угла и их противолежащие стороны в треугольнике ABC, а значит, этот треугольник является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике две стороны и два угла равны. Значит, сторона BC также равна 22.

Теперь у нас есть две стороны равные 22 и одна сторона равная радиусу описанной окружности, которую мы обозначили как R.

Мы можем использовать формулу для вычисления радиуса описанной окружности в равнобедренном треугольнике:

R = (сторона BC) / (2*sin(угол BAC)/2)

R = 22 / (2*sin(97°/2))

Теперь остаётся только вычислить значение синуса 48,5° (половины угла BAC):

sin(97°/2) = sin(48,5°) = 0.747

Теперь мы можем подставить значение синуса в нашу формулу:

R = 22 / (2*0.747) = 22 / 1.494 = 14.72.

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника ABC равен 14.72.