Около прямоугольного треугольника abc с гипотенузой ab описана окружность. расстояние от точки a до касательной, проходящей через точку c, в три раза меньше расстояния от точки b до тойжекасательной.чему равен угол abc?

Давай попробуем рассуждать логически.

Во-первых, заметим, что раз касательная касается окружности в точке С, то радиус, проведённый из С будет перпендикулярен касательной. Соответственно, радиус имеет длину R. 

Обозначим проекции точек А и В на касательную соответственно А1 и В1. Тогда в прямоугольной трапеции А А1 В1 В внезапно обнаружим, что ОС является средней линией, потому что ОА = R, и ОВ также равно R. Раз такое дело, то радиус R является средним арифметическим оснований трапеции. Допустим, меньшее основание А А1 имеет длину х, тогда радиус R=2х, и большее основание В В1 = 3х.

Следовательно, продолжая гипотенузу АВ и касательную до пересечения (назовём точку пересечения буквой М)  увидим, что АМ=R.

Далее применим теорему о секущей, которая  скажет, что МС^2 = МА * МВ = R * 3R = 3*R^2. Отсюда МС = R * корень(3), то есть отношение МС/R = корень(3). По ходу, полученное отношение является тангенсом угла МОС, ибо угол МСО прямой. А тангенс какого угла равен корню(3) ? -- это угол 60 градусов, как нам известно из таблиц Брадиса.

Осталось последнее действие - заметить, что искомый угол В составляет половину от МОС, т.к.они опираются на одну и ту же дугу АС, но при этом АОС центральный, а В вписанный.

Итого, ответ: угол АВС = 60 / 2 = 30 градусов.

Ну, у меня так получилось.Лучше проверь за мной.