Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность, радиус которой равен 4. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если известно, что OO1=2, где O и O1 - центры вписанной и описанной окружности.

Объяснение:

Центр описанной окружности , в прямоугольном треугольнике , лежит на середине гипотенузы.Значит гипотенуза АВ=8.

Пусть в ΔАВС, ∠С=90°, радиус вписанной окружности -х. Т.к. радиус , проведенный в точку касания перпендикулярен касательной , то ОК⊥СВ и ОМ⊥СА, т.е СКОМ-квадрат.Тогда СМ=СК=х.

По своству отрезков касательных (Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, от общей точки до точек касания равны друг другу) имеем

ВК=ВО₁=4 и значит ВС=х+4

АМ=АО₁=4 и значит АС=х+4.

По т. Пифагора для ΔАВС имеем ВА²=ВС²+АС²

(х+4)²+(х+4)²=8²

2*(х+4)²=8²

(х+4)²=8²/2

х+4=8/√2       или     х+4=-8/√2

х=-4+8/√2       или     х=-4-8/√2 ( не подходит по смыслу х>0).

Значит радиус вписанной окружности  х=-4+8/√2  =-4+4√2=4(√2-1)