Один з кутів ромба дорівнює 60 градусів, одна сторона дорівнює 10 см. Знайти діагоналі ромба.

Ромб.

∠DAB = 60˚.

AB = 10 см

АС, BD - ?

Обозначим пересечение диагоналей ромба в точке О.

"Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны".

⇒АВ = BC = DC = AD = 10 см

Так как ромб - параллелограмм, вспомним свойства параллелограмма:

"У параллелограмма противоположные углы равны".

⇒∠DAB = ∠DCB = 60˚; ∠ABC = ∠ADC.

"Сумма углов четырёхугольника равна 360°".

⇒∠АВС = ∠ADC = 360˚ - (60˚ + 60˚) = 240˚/2 = 120˚

"Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам".

          △DAO, △ВАО, △ВСО, △DCO - прямоугольные.

⇒

          ∠DAO = ∠BAO = 60˚/2 = 30˚

          ∠DCO = ∠BCO = 60˚/2 = 30˚

          ∠ADO = ∠CDO = 120˚/2 = 60˚

          ∠ABO = ∠CBO = 120˚/2 = 60˚

Рассмотрим △DAO, △ВАО, △ВСО, △DCO:

AB = BC = DC = AD = 10 см, по свойству ромба.

∠DAO = ∠BAO = ∠DCO = ∠BCO = 30˚, по свойству диагоналей ромба. (и по свойству самого ромба)

ИЛИ:

∠ADO = ∠CDO = ∠ABO = ∠CBO = 60˚, по свойству диагоналей ромба. (и по свойству самого ромба)

⇒△ADO = △BAO = △BCO = △DCO, по гипотенузе и острому углу.

Рассмотрим △ВАО:

∠ВАО = 30°

АВ = 10 см

"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".

⇒ОВ = 10/2 = 5 см

Так как △DAO = △BAO ⇒ DO = 5 см

DB = 10 см.

Так как АВ = AD = DB = 10 см => △DAB - равносторонний.

⇒△DCB - равносторонний, так как DB = BC = DC = 10 см

⇒△DCB = △DAB. (⇒АО = ОС)

Найдём АО и ОС, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; a, b - катеты)

а = √(c² - b²) = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3 см

Итак, АО = ОС = 5√3 см => АС = 5√3 + 5√3 = 10√3 см