Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 36 см. Определи длину меньшего катета?

Хорошо, я с удовольствием помогу вам решить эту задачу!

Для решения этой задачи нам потребуются знания о прямоугольных треугольниках и тригонометрии.

Дано, что один из острых углов треугольника равен 60°. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 90°. Поэтому, если один угол равен 60°, то другой острый угол равен 90° - 60° = 30°.

Теперь посмотрим на то, что нам сказано о сумме меньшего катета и гипотенузы. Давайте обозначим меньший катет за a и гипотенузу за c. Мы знаем, что a + c = 36 см.

Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение для прямоугольных треугольников, известное как теорема Пифагора: в квадрате гипотенузы равно сумме квадратов катетов. То есть, с^2 = a^2 + b^2.

У нас есть два уравнения: a + c = 36 и c^2 = a^2 + b^2. Мы можем использовать эти уравнения для решения задачи.

Давайте начнем с первого уравнения: a + c = 36. Мы знаем, что c = a + c - a, поэтому мы можем заменить его во втором уравнении: (a + c - a)^2 = a^2 + b^2.

После упрощения этого уравнения, мы получим: c^2 = a^2 + (c - a)^2.

Теперь давайте заменим c^2 и решим это уравнение: (a + c - a)^2 = a^2 + (c - a)^2.

Раскрываем скобки: c^2 + a^2 - 2ac + a^2 = a^2 + c^2 - 2ac + a^2.

Упрощаем: a^2 - 2ac + a^2 = 0.

Складываем полученные слагаемые: 2a^2 - 2ac = 0.

Делим на 2: a^2 - ac = 0.

Факторизуем: a^2 - ac = a(a - c) = 0.

Из этого уравнения мы видим два возможных случая: a = 0 или a - c = 0.

Поскольку мы ищем длину меньшего катета, то a не может быть равно нулю. Поэтому мы решаем второй случай: a - c = 0.

Давайте решим это уравнение: a = c.

Таким образом, мы видим, что меньший катет равен гипотенузе прямоугольного треугольника. В нашем случае, сумма меньшего катета и гипотенузы равна 36, поэтому a + c = 36.

Используя уравнение a = c, мы можем заменить c в этом уравнении: a + a = 36.

Складываем полученные слагаемые: 2a = 36.

Делим на 2: a = 18.

Таким образом, длина меньшего катета равна 18 см.

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как решить эту задачу. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, обратитесь ко мне.