очень надо В треугольник с основанием AC= 14 см и высотой BD= 8 см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит на основании AC, а вершины L и M — соответственно на сторонах AB и BC. Определи длину стороны квадрата.
(Если в ответе получилось целое число, запиши в знаменателе 1.)
Длина стороны квадрата равна
см.
Давайте разберемся сначала с треугольником ABC. Мы знаем, что BD является высотой треугольника, поэтому он перпендикулярен к основанию AC и делит его пополам. Также, мы знаем, что KD является медианой треугольника, которая делит сторону AC также пополам. Из этого следует, что точка K – это середина стороны AC.
Вспомним, что вписанный квадрат означает, что его вершины касательны к сторонам треугольника. Из этого следует, что угол B делит сторону KD пополам и угол A делит сторону KC пополам. Так как K является серединой стороны AC, то угол B и угол A равны.
Пусть сторона квадрата равна х. Тогда, сторона треугольника KBA равна (14-х)/2 и сторона треугольника KBC равна (х+14)/2.
По свойству подобия треугольников, отношение длин сторон двух подобных треугольников равно. Таким образом, можно записать следующее уравнение:
(14 - х)/2 : (х + 14)/2 = KD : BD
Для нахождения KD и BD нам нужно применить теорему Пифагора. Из треугольника KBA мы можем найти длину стороны KD, используя теорему Пифагора:
KD^2 = (14-х)/2^2 + x^2
Аналогично, из треугольника KBC мы можем найти длину стороны BD:
BD^2 = (х+14)/2^2 + x^2
Подставляя значения KD и BD в уравнение отношения длин сторон подобных треугольников, получаем следующее уравнение:
((14-х)/2^2 + x^2) : ((х+14)/2^2 + x^2) = 8 : х
=> ((14-х)/4 + x^2) : ((х+14)/4 + x^2) = 8 : х
Упростим это выражение:
((14-х) + 4x^2) : ((х+14) + 4x^2) = 8 : х
(14-х) + 4x^2 = 8(x + 14)
14 - х + 4x^2 = 8x + 112
4x^2 - 9x - 98 = 0
Решим это квадратное уравнение. Для этого можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-9)^2 - 4(4)(-98)
D = 81 + 1568
D = 1649
Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня. Используем формулу для нахождения корней:
x = (-b ± √D) / 2a
x = (-(-9) ± √1649) / (2(4))
x = (9 ± √1649) / 8
x ≈ 11.64 см или x ≈ -2.14 см
Поскольку сторона квадрата не может быть отрицательной, отбрасываем второй корень и получаем, что сторона квадрата ≈ 11.64 см.
Таким образом, длина стороны квадрата равна примерно 11.64 см.