Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найти площадь осевого сечения конуса.

конус.

l (или РА, ВР) = 12 см

∠РВА = 30°

S осевого сечения - ?

Осевое сечение данного конуса (если секущая плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота Н (или РО) делит этот треугольник на два прямоугольных треугольника.

=> △ВРА - равнобедренный

=> △ВРО и △АРО - прямоугольные.

Рассмотрим △ВРО:

∠РВА = 30°

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> Н (или РО) = 12/2 = 6 см

Найдём радиус R (или ВО,ОА) по теореме Пифагора:

с² = а² + b²

b = √(c² - a²)

b = √(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 см

Итак, R (или ВО,ОА) = √108 см

Так как △ВРА - равнобедренный => △ВРО = △АРО (их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △ВРА - равнобедренный)

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов:

=> S△АРО = ((√108) * 6)/2 = 18√3 см²

В равных треугольниках равные площади.

=> S△АРО = S△ВРО = 18√3 см²

=> S△ВРА = 18√3 + 18√3 = 36√3 см²