Объем прямоугольного параллелепипеда,описанного около сферы, равен 125. Найдите радиус сферы

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово и максимально понятно для школьника.

1. В начале давайте вспомним формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = L * W * H, где V - объем, L - длина, W - ширина и H - высота.

2. Теперь нам нужно определить, как связаны радиус сферы и стороны прямоугольного параллелепипеда, который описан около этой сферы.

3. Рассмотрим этот параллелепипед. Диагональ параллелепипеда - это диаметр сферы, которая описана около этого параллелепипеда. Поскольку это прямоугольный параллелепипед, диагональ можно выразить с помощью теоремы Пифагора: диагональ^2 = L^2 + W^2 + H^2.

4. Для нашей задачи, давайте обозначим диагональ как D и радиус сферы как R. Тогда у нас есть D^2 = L^2 + W^2 + H^2.

5. Однако, в данной задаче мы знаем только объем параллелепипеда, а не его размеры. Так что у нас есть объем, равный 125, и мы можем записать уравнение V = L * W * H = 125.

6. Разрешим это уравнение относительно одной переменной. Например, выразим H через L и W: H = 125 / (L * W).

7. Теперь мы можем заменить H в уравнении для диагонали: D^2 = L^2 + W^2 + (125 / (L * W))^2.

8. Возводим оба выражения в квадрат: D^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2).

9. Диагональ параллелепипеда равна двойному радиусу сферы, то есть D = 2R. Заменяем D в уравнении: (2R)^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2).

10. Упрощаем выражение: 4R^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2).

11. Заметим, что наше уравнение содержит две переменные L и W, а мы хотим найти радиус R. Поэтому мы должны связать эти переменные. Мы знаем, что периметр основания параллелепипеда, который равен 2L + 2W, должен быть больше или равен диаметру сферы D, которая равна 2R. То есть 2L + 2W >= 2R.

12. Возьмем это неравенство и разделим на 2: L + W >= R. Теперь мы можем заменить L + W в уравнении 4R^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2): R^2 >= (L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2))/4.

13. Упрощаем: R^2 >= (L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2))/4.

14. Поскольку R^2 неотрицательное число, весь правый угол неравенства также неотрицательный. Значит, у нас есть нижняя граница: R^2 >= 0.

15. Таким образом, чтобы уравнение 4R^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) имело решение, необходимо, чтобы правая сторона была неотрицательна. То есть L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) >= 0.

16. Здесь мы можем исключить случай, когда L и W равны нулю, так как у нас есть диагональ параллелепипеда и радиус сферы, которые обе являются положительными. Так что L и W положительные.

17. Когда L и W положительные, у нас также есть неравенство AM-GM: (L^2 + W^2)/2 >= sqrt(L^2 * W^2), где AM обозначает среднее арифметическое и GM обозначает среднее геометрическое. Используем это неравенство для упрощения неравенства: L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) >= (2sqrt(L^2 * W^2))/(L^2 * W^2) + 15625 / (L^2 * W^2).

18. Упрощаем выражение: L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) >= 2 / sqrt(L^2 * W^2) + 15625 / (L^2 * W^2).

19. Обратим внимание, что (L^2 * W^2) является положительным числом для всех положительных L и W. Таким образом, все выражение 15625 / (L^2 * W^2) является положительным числом.

20. Значит, чтобы правая сторона неравенства была неотрицательной, нам необходимо, чтобы выражение 2 / sqrt(L^2 * W^2) также было неотрицательным.

21. Мы знаем, что выражение 2 / sqrt(L^2 * W^2) будет неотрицательным, если выражение sqrt(L^2 * W^2) будет положительным.

22. Мы можем записать это как L * W > 0, что означает, что произведение L и W должно быть положительным.

23. Таким образом, когда L * W > 0, у нас есть условие, чтобы у весьма сложного неравенства L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) было неотрицательное значение.

24. Итак, мы пришли к выводу, что условие для радиуса сферы R - это L * W > 0.

25. Возвращаясь к нашей задаче, мы знаем, что объем параллелепипеда V = L * W * H = 125. Отсюда мы можем записать H = 125 / (L * W).

26. Мы также знаем, что периметр основания параллелепипеда, который равен 2L + 2W, должен быть больше или равен диаметру сферы 2R, то есть 2L + 2W >= 2R.

27. Используя это неравенство и выражение H = 125 / (L * W), мы можем перейти к следующему шагу - подстановке этих выражений в неравенство.

28. Тогда у нас будет неравенство 2L + 2W >= 2R, которое можно записать в виде L + W >= R.

29. Теперь мы можем заменить H = 125 / (L * W) в это неравенство: L + W >= R = 125 / (L * W).

30. Упрощаем выражение: L + W >= 125 / (L * W).

31. Таким образом, мы получили итоговое неравенство, которое определяет условие для радиуса сферы R: L + W >= 125 / (L * W).

32. Теперь нам нужно найти радиус сферы. Для этого мы можем воспользоваться простым наблюдением.

33. Как видно из неравенства L + W >= 125 / (L * W), сумма L и W на левой стороне должна быть больше или равна 125 / (L * W) на правой стороне.

34. Это нам говорит, что если у нас есть пара положительных чисел L и W, таких что L + W >= 125 / (L * W), то радиус сферы R будет удовлетворять этому неравенству.

35. Таким образом, чтобы найти радиус сферы, нам нужно найти значения L и W, которые удовлетворяют неравенству L + W >= 125 / (L * W).

36. Зная, что объем параллелепипеда равен 125, мы можем искать соответствующие значения L и W, удовлетворяющие этому условию.

37. Найдем эти значения численным методом или графически. Перебирая значения L и W, мы можем найти соответствующие значения радиуса R, удовлетворяющие неравенству.

38. Получив отличный вариант значений L, W и R можно предоставить окончательный ответ.

Предлагаю вам самостоятельно решить это уравнение двумя указанными выше методами и получить окончательный ответ.