.Нужно найти площадь вписанного круга в прямоугольном треугольнике

В прямоугольный ΔАВС, ∠С=90 вписан круг .Биссектриса ∠А делит катет в отношении CD:DB=3:5. Найдите площадь круга

Решение Площадь круга S= πr² .Радиус вписанной окружности найдем из формулы S=1/2*P*r .

1) Тк " биссектриса  угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника" , то CD:СА=ВD:АВ или 3:СА=5:АВ  ⇒ , а это по определению sinB .

2) По основному тригонометрическому тождеству

sin²B+cos²B=1  получаем  cosB=√(1- )=

3) cosB=  или ⇒ AB=10.

По т Пифагора АС=√(АВ²-ВС²)=√(100-64)=6

4)  S=1/2*P*r

1/2*BC*AC=1/2*(AB+BC+AC)*r

1/2*8*6=1/2*24*r ⇒ r=2 ед

S(круга)=π*2²=4π (ед²)

AC/AB =CD/DB =3/5 (т о биссектрисе)

AC=3x, AB=5x

BC =√(AB^2-AC^2) =4x =8 => x=2

r =(AC+BC-AB)/2 =x =2

S=пr^2 =4п

Отрезки касательных из одной точки равны: CK=CN итд

в любом треугольнике CK=p-AB

в прямоугольном треугольнике CKIN - квадрат => r =CK