Найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, если известно, что её высота равна 5 см и боковое ребро равно корень из 65 см

Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанной в четырехугольную пирамиду шаровой поверхности.

Итак, имеем правильную четырехугольную пирамиду. Другими словами, это четырехугольная пирамида, у которой все грани и углы являются равнобедренными.

Для начала, найдем длину основания этой пирамиды. Поскольку у пирамиды все грани и углы равнобедренные, длина основания будет равна диагонали равнобедренного треугольника, образованного двумя смежными гранями пирамиды. Такое треугольниу можно разделить на два прямоугольных треугольника, используя половину длины основания пирамиды как основание прямоугольного треугольника, а половину длины основания пирамиды и половину бокового ребра пирамиды как катеты прямоугольного треугольника.

Таким образом, получим следующее равенство:
(1/2 * основание пирамиды)^2 + (1/2 * боковое ребро пирамиды)^2 = (длина основания пирамиды)^2

В нашей задаче:
боковое ребро пирамиды = √65 см
длина основания пирамиды = ?
основание пирамиды = ?

Давайте обозначим половину длины основания пирамиды как Х, тогда длина основания пирамиды будет равна 2Х.
Также заметим, что основание пирамиды состоит из равнобедренного треугольника со стороной X и двух равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет сторону равную половине основания пирамиды, то есть Х.

Теперь подставим наши значения в равенство:
(Х)^2 + (1/2 * √65)^2 = (2Х)^2

Упростим это выражение:
Х^2 + 1/4 * 65 = 4Х^2

Выразим Х^2 через 65:
Х^2 = 1/4 * 65

Возведем обе части уравнения в квадрат:
Х = √(1/4 * 65)
Х = 1/2 * √65

Теперь найдем длину основания пирамиды:
длина основания пирамиды = 2Х = 2 * 1/2 * √65 = √65 см

Таким образом, длина основания пирамиды равна √65 см.

Теперь перейдем к нахождению радиуса вписанного в пирамиду шара. Заметим, что радиус вписанного шара будет равен половине длины основания пирамиды.

Таким образом, радиус шара равен:
радиус шара = 1/2 * √65 см = √65/2 см.

Ответ: Радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, равен √65/2 см.