Найти радиус шара описанного около правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания равна 8 корней из 2,а боковые ребра взаимноперпендикулярны

Эту задачу можно решить многими эквивалентными но (как ни удивительно) - самый простой и наглядный координатный.

Пусть есть три взаимно перпендикулярные оси  - как обычно, OX, OY, OX, О - начало координат. Если отметить точки на осях на расстоянии 8 от О, то есть точки А (8, 0, 0) В (0, 8, 0) и С (0, 0, 8), то АВ = ВС = АС = 8*√2, и АВСО и есть заданная в задаче пирамида. 

Теперь надо построить шар, проходящий через все 4 точки.

Я еще более усложню задачу :))) и буду строить шар, который проходит не только через эти точки АВСО, но и еще через точки D(0, 8, 8) E (8, 0, 8) F(8, 8,0) и G (8, 8, 8). Такой шар существует, поскольку OABCDEFG - просто куб со стороной 8.

Ясно, что центр шара находится в центре куба, то есть в точке О1 (4, 4, 4), и радиус шара равен длине отрезка ОО1, то есть √(4^2 + 4^2 +4^2) = 4*√3; это ответ :)

Конечно, то же самое можно сделать без введения системы координат. Просто - так наглядно.  

"Минимальное" решение выглядит так

Заданная пирамида отсекается от куба со стороной 8 плоскостью, проходящей через 3 вершины трех ребер, имеющих общую вершину (то есть исходящих из одной вершины). Поэтому шар, описанный вокруг куба, будет и шаром, описанным вокруг пирамиды. Диаметр шара равен большой диагонали куба, то есть 8*√3; а радиус в 2 раза меньше. Всё.