1. Геометрия
  2. Найти площадь прямоугольного

Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - r.

miloft miloft    2   22.05.2019 09:30    0

Ответы
hdjddngddh hdjddngddh  01.10.2020 06:35
Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:
a^2+b^2=c^2
Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:
a^2+b^2=(2R)^2
\\\
a^2+b^2=4R^2
Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:
a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab
\\\
a^2+b^2+2ab=4R^2+ \frac{4ab}{2}
Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:
(a+b)^2=4R^2+4S \\\ a+b=2 \sqrt{ R^2+S}

Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:
S= \frac{a+b+c}{2}\cdot r
Подставим вместо а+b и с известные выражения:
S= \frac{2 \sqrt{ R^2+S}+2R}{2}\cdot r
Выполняем преобразования:
\frac{S}{r} = \sqrt{ R^2+S}+R \\\ \frac{S}{r} -R= \sqrt{ R^2+S} \\\
Возведем обе части в квадрат:
\frac{S^2}{r^2}- \frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S
R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:
\frac{S}{r^2}- \frac{2R}{r} =1
Домножаем на r:
S-2Rr =r^2 \\\ \Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)
Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
ответ: 2Rr+r²
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
denvolk00 denvolk00  01.10.2020 06:35

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

a

b

c=2R

Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

a^2+b^2=c^2=4R^2

Так как площадь прямоугольного треугольника равна: S=\frac{ab}{2}

получаем ab=2S

тогда (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S

Получаем:

a+b=\sqrt{4R^2+4S}

Зная, что площадь равна: S=pr=\frac{(a+b+c)}{2}*r

Получаем: a+b+c=\frac{2S}{r}

тогда получаем:

a+b=\sqrt{4R^2+4S}

Прибавим cс обеих сторон:

a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+c

т.к c=2RПолучаем:

a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+2R

так как a+b+c=\frac{2S}{r}

получаем:

\sqrt{4R^2+4S}+2R=\frac{2S}{r}

\sqrt{4R^2+4S}=\frac{2S}{r}-2R

4R^2+4S=(\frac{2S}{r}-2R)^2

4R^2+4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}+4R^2

4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}

Делим все на 4S:

1=\frac{S}{r^2}-\frac{2R}{r}

r^2=S-2Rr

Откуда получаем:

S=r^2+2Rr

ответ: S=r^2+2Rr

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия
cerenkovvladimi cerenkovvladimi  01.04.2019 04:20
1) найти площадь правильного шестиугольника, если длина описанной около него окружности равна 4 пи 2) меньшая диагональ правильного шестиугольника равна 6√3. найдите длину окружности,...
pudgenamide pudgenamide  01.04.2019 04:20
Стороны треугольника относятся как 7: 6: 3. найти стороны подобного ему треугольника, если у него: периметр у него равен 8 см...
kazakovfiodor kazakovfiodor  15.05.2020 06:41
Точка М делит отрезок РК в отношении 3:2, считая от точки Р. Найдите координаты точки Р, если заданы координаты точек М и К: М (2; 4), К (-3; 5)....
mrtocilin mrtocilin  15.05.2020 06:40
На клетчатой бумаге изображен прямоугольный треугольник. Найти длину его медианы, проведённой к гипотенузе...
Лида1113внк Лида1113внк  15.05.2020 06:40
Найдите координаты точки К, если С (-5; 3), М (-6; -3), отрезки СМ и КМ равны между собой. ​...
Deiselpro1 Deiselpro1  15.05.2020 06:40
Постройте окружности, заданные уравнениями и Определите взаимное расположение этих двух окружностей. ​...
barinova6 barinova6  15.05.2020 06:40
У выражение и заполните пропуски.Найдите его значение при x=-1,5. (x+6)(x-6)-(x+11)2=*x(во второй степени)+*X+=...
airatfack2000oz7glu airatfack2000oz7glu  15.05.2020 06:53
Определить относительное положение линии (х-3)²+ (у-5)²=49 и x=-2​...
kburdenko01 kburdenko01  15.05.2020 06:53
(X-5)^2+(y+7)^2=16 найдите радиус и координаты...
hameleon5 hameleon5  15.05.2020 06:53
В параллелограмме ABCD проведена высота BH, HЭAD. Отрезок AH в 2 раза меньше стороны AB. Найдите углы параллелограмма...

Популярные вопросы