Найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания равна 8 см, а апофема равна 14 см

Хорошо, давай разберемся вместе!

Чтобы решить задачу, нам нужно знать формулу для расчета площади полной поверхности пирамиды. Формула выглядит следующим образом:

Площадь полной поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности

1. Начнем с рассчета площади основания. У нас есть правильная четырехугольная пирамида, поэтому ее основание — это квадрат. Известно, что сторона основания равна 8 см, поэтому площадь основания будет равна сторона в квадрате: 8 * 8 = 64 см².

2. Апофема — это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с центром основания. По заданию, апофема равна 14 см.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность — это боковые грани пирамиды, которые в нашем случае представляют собой равносторонние треугольники. Для нас важно знать длину одной из боковых сторон треугольника.

Для этого нам понадобится теорема Пифагора. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, катетом будет половина стороны основания, равной 8 см, то есть 8/2 = 4 см. Гипотенузой будет апофема, равная 14 см.

Применяя формулу Пифагора, получим: катет² + катет² = гипотенуза².
4² + 4² = 14².
16 + 16 = 196.
32 = 196.
Здесь мы можем заметить, что 32 не равно 196. Наше предположение о прямоугольном треугольнике было неверным.

Однако, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для рассчета длины боковой стороны, если угол в вершине пирамиды равен 60 градусам. В этом случае, катетом будет половина стороны основания, а гипотенузой - апофема.

4. Вернемся к задаче. Мы сказали, что у нас правильная четырехугольная пирамида, поэтому угол в вершине равен 60 градусам. Это означает, что мы можем использовать знание о равносторонних треугольниках.

Давайте рассмотрим одну из боковых сторон пирамиды. Если мы проведем высоту треугольника, она разобьет его на два прямоугольных треугольника. Один из них будет разделен на два равнобедренных треугольника, поскольку высота является медианой и делит основание пополам. В другом прямоугольном треугольнике у нас будет катет 4 см (половина стороны основания) и гипотенуза 14 см (апофема). Мы можем найти длину боковой стороны, применив теорему Пифагора.

Катет² + катет² = гипотенуза².
4² + катет² = 14².
16 + катет² = 196.
Катет² = 196 - 16.
Катет² = 180.
Катет = √180.
Катет = 3√20.
Катет ≈ 13.416 см.

Теперь, когда у нас есть длина боковой стороны, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности треугольной пирамиды. В нашем случае у нас 4 боковых грани, поскольку это правильная четырехугольная пирамида. И каждая из них является равносторонним треугольником, следовательно, их площади одинаковы.

Площадь боковой поверхности = 4 * (Площадь треугольника).

Площадь треугольника = (сторона треугольника * апофема треугольника) / 2.

Площадь треугольника = (13.416 * 14) / 2.
Площадь треугольника ≈ 187.824 см².

Площадь боковой поверхности = 4 * 187.824.
Площадь боковой поверхности ≈ 751.296 см².

5. Наконец, мы можем рассчитать площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности.

Площадь полной поверхности = 64 + 751.296.
Площадь полной поверхности ≈ 815.296 см².

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет около 815.296 см².