Найти площадь параллелограмма. если его наибольшая диагональ равна 5 см. а две его высоты, соответственно равны 3 см и 2 см

Ответы

момалог 02.07.2020 11:31

Обозначим стороны как a;b

. И пусть

тогда большая высота опускается на меньшую сторону , меньшая на большую . Тогда площадь с одной стороны равна S=3b

, с другой стороны S=2a

.
Вспомним что угол между высотами проведенные с тупого угла равен острому углу параллелограмма.Учитывая это обозначим угол между высотами как $\alpha$ тогда острый угол равен $\alpha$ следовательно тупой $180- \alpha$ . Из прямоугольных треугольников которые образовались после проведения высота соответственно на стороны a ;b

равны $a=\frac{3}{sina}\\
b=\frac{2}{sina}$ тогда площадь запишится как
$S=\frac{6}{sin^2a}*sina=\frac{6}{sina}$
но и она же равна $S=\frac{2a^2}{3}*sina$ приравняем
$\frac{6}{sina}=\frac{2a^2}{3}*sina\\
18=2a^2*sin^2a\\
a*sina=3$ -3 нам не подходит потому что синус в I;II

четверти положителен
Диагональ выразим по теореме косинусов
$5^2=a^2+\frac{4a^2}{9}-2*a*\frac{2a}{3}*cos(180-a) \\
5^2=a^2+\frac{4a^2}{9}+\frac{4a^2}{3}*cosa\\
cosa=\frac{25-a^2-\frac{4a^2}{9}}{\frac{4a^2}{3}}\\
$
с первого равенство выразим синус через косинус затем подставим и решим уравнение перейдем в общем к такому
$\sqrt{1-\frac{9}{a^2}}=\frac{225-13a^2}{12a^2}\\
$ решая это уравнение получим
$
a=\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}\\
b=\frac{6\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{15}\\
sina=\frac{3}{\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}}\\\\
S=\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}*\frac{6\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{15}*\frac{3}{\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}}=\frac{6\sqrt{48\sqrt{21}+253}}{5}$
оно примерно равна 26

Найти площадь параллелограмма. если его наибольшая диагональ равна 5 см. а две его высоты, соответст