Найти фокус параболы в точке А(6;-3), директриса которой задается уравнением 3х-5у+1=0

Для решения задачи нам понадобится знание свойств параболы. По определению, фокусом параболы является точка, от которой все точки параболы отстоят на одинаковое расстояние, называемое фокусным расстоянием. Директриса же является прямой, которая является осью симметрии параболы и отстоит от фокуса на фокусное расстояние.

Поскольку у нас задана директриса уравнением 3х-5у+1=0, мы можем записать уравнение этой параболы в канонической форме. Каноническая форма уравнения параболы выглядит следующим образом: (y-k)² = 4a(x-h), где (h, k) - координаты вершины параболы, а "4a" - фокусное расстояние.

Чтобы найти фокус параболы, нам необходимо найти вершину параболы. Вершина параболы находится на пересечении оси симметрии параболы и ее графика. Ось симметрии параболы является перпендикуляром к директрисе и проходит через фокус параболы.

Для начала, найдем уравнение оси симметрии. Так как директриса имеет вид 3х-5у+1=0, ее коэффициенты перед x и y будут идентичными при замене знака их знаков. То есть, уравнение оси симметрии будет иметь вид 3у + 5х + с = 0, где с - коэффициент перед свободным членом.

Теперь найдем координаты вершины параболы. Для этого подставим координаты точки А(6;-3) в уравнение оси симметрии.

3у + 5х + c = 0
3(-3) + 5(6) + с = 0
-9 + 30 + с = 0
21 + с = 0
с = -21

Теперь, когда у нас есть уравнения оси симметрии и фокусное расстояние, найдем фокус параболы. Фокус параболы расположен на одном фокусном расстоянии ниже или выше вершины параболы вдоль оси симметрии. Значит, координата y фокуса будет состоять из суммы y-координаты вершины параболы и фокусного расстояния.

y-координата вершины параболы: -3
Фокусное расстояние: 4a

Так как парабола открывается вправо или влево (из-за коэффициента перед x в уравнении директрисы), мы должны найти коэффициент перед x в уравнении директрисы и поделить его на 4, чтобы получить фокусное расстояние (4a). В данном случае коэффициент перед x в уравнении директрисы равен 3, поэтому фокусное расстояние будет равно 3/4.

Теперь найдем y-координату фокуса параболы:

y-координата фокуса = -3 + (3/4) = -3 + 0.75 = -2.25

Таким образом, фокус параболы будет находиться в точке Ф(6,-2.25).