Найти центр c и радиус r круга, вписанного в треугольник со сторонами x+y+12=0, 7x+y=0, 7x-y+28=0

Для начала, мы должны найти вершины треугольника. Для этого, решим систему уравнений:

x+y+12=0 ---- (1)
7x+y=0 ---- (2)
7x-y+28=0 ---- (3)

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием уравнений. В данном случае, воспользуемся методом сложения/вычитания.

Добавим уравнения (2) и (3) вместе, чтобы избавиться от y:

(7x+y) + (7x-y) = 0 + 28

14x = 28
x = 28/14
x = 2

Теперь подставим найденное значение x в уравнение (2), чтобы найти значение y:

7(2) + y = 0
14 + y = 0
y = -14

Таким образом, первая вершина треугольника имеет координаты (2, -14).

Подставим найденные значения x и y в уравнение (1):

(2) + (-14) + 12 = 0
-12 + 12 = 0

Мы видим, что уравнение (1) также выполняется. Это означает, что вершина (2, -14) действительно находится на прямой x+y+12=0.

Теперь нам нужно найти две другие вершины треугольника. Для этого, произведем аналогичные шаги с уравнениями (2) и (3):

7x + y = 0 ---- (2)
7x - y + 28 = 0 ---- (3)

Так как y уже изолирована в уравнении (2), умножим уравнение (3) на (-1) и сложим его с уравнением (2):

7x + y + (-7x + y - 28) = 0 + (-1) * 28

2y - 28 = -28
2y = 0
y = 0

Теперь, подставим найденное значение y в уравнение (2):

7x + 0 = 0
7x = 0
x = 0

Таким образом, вторая вершина треугольника имеет координаты (0, 0).

Подставим найденные значения x и y в уравнение (3):

7(0) - y + 28 = 0
- y + 28 = 0
y = 28

Мы видим, что уравнение (3) также выполняется. Это означает, что вершина (0, 28) действительно находится на прямой 7x-y+28=0.

Таким образом, мы нашли все три вершины треугольника: (2, -14), (0, 0) и (0, 28).

Далее, чтобы найти центр c и радиус r вписанного в треугольник круга, мы можем воспользоваться формулой, которая гласит:

c = (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3

где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

Подставим значения вершин в формулу:

c = (2 + 0 + 0)/3, (-14 + 0 + 28)/3
c = (2 + 0 + 0)/3, 14/3

c = 2/3, 14/3

Таким образом, центр c круга имеет координаты (2/3, 14/3).

Чтобы найти радиус r вписанного круга, нам нужно найти расстояние от центра c к одной из вершин треугольника. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

r = √((x - x1)^2 + (y - y1)^2)

где (x, y) - координаты центра c, а (x1, y1) - координаты одной из вершин треугольника.

Выберем вершину (2, -14) и подставим все значения в формулу:

r = √((2/3 - 2)^2 + (14/3 - (-14))^2)
= √((-4/3)^2 + (56/3)^2)
= √((16/9) + (3136/9))
= √((3152/9))
= √(350.22)
≈ 18.7

Таким образом, центр c круга имеет координаты (2/3, 14/3), а радиус r примерно равен 18.7.