Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями x=1+4t
y=-1
z=1-3t
и
x=-2+p
y=2p
z=3-2p

Для начала, нам необходимо составить систему уравнений, чтобы найти точку пересечения прямых. Система уравнений будет выглядеть следующим образом:
1 + 4t = -2 + p
-1 = 2p
1 - 3t = 3 - 2p

Давайте решим эту систему пошагово:
1) Из второго уравнения получаем значение p:
-1 = 2p
Разделим обе части уравнения на 2:
-1/2 = p

2) Подставим найденное значение p в первое и третье уравнения системы:
1 + 4t = -2 + (-1/2)
1 + 4t = -2 - 1/2
1 + 4t = -5/2

Упростим уравнение, вычтя 1 с обоих сторон:
4t = -5/2 - 1
4t = -5/2 - 2/2
4t = -7/2

Разделим обе части уравнения на 4:
t = -7/8

3) Теперь подставим полученное значение t во второе уравнение системы:
-1 = 2p
-1 = 2 * (-7/8)
-1 = -7/4

Теперь мы получили значения переменных p и t, которые являются координатами точки пересечения прямых.
Теперь, чтобы найти угол между этими прямыми, мы можем использовать формулу:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| |BC|),

где AB и BC - векторы, соединяющие точки A и B, и B и C соответственно.

Для начала, найдем векторы AB и BC.
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
BC = (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2)

A(x1, y1, z1) = (1, -1, 1)
B(x2, y2, z2) = (1 + 4t, -1, 1 - 3t)
C(x3, y3, z3) = (-2, 2p, 3 - 2p)

Теперь подставим значения p и t, которые мы получили ранее:
A = (1, -1, 1)
B = (1 + 4*(-7/8), -1, 1 - 3*(-7/8))
C = (-2, 2*(-7/4), 3 - 2*(-7/4))

Упростим координаты точек:
A = (1, -1, 1)
B = (-5/8, -1, 11/8)
C = (-2, -7/2, 23/4)

Теперь найдём векторы AB и BC:
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-5/8 - 1, -1 - (-1), 11/8 - 1)
AB = (-13/8, 0, 3/8)

BC = (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2) = (-2 - (-5/8), -7/2 - (-1), 23/4 - 11/8)
BC = (-11/8, -3/2, 13/8)

Теперь найдём модули этих векторов:
|AB| = sqrt((-13/8)^2 + 0^2 + (3/8)^2)
|AB| = sqrt(169/64)
|AB| = 13/8

|BC| = sqrt((-11/8)^2 + (-3/2)^2 + (13/8)^2)
|BC| = sqrt(121/64 + 9/4 + 169/64)
|BC| = sqrt(299/64)
|BC| = sqrt(299)/8

Теперь найдём скалярное произведение векторов AB и BC:
(AB · BC) = (-13/8 * -11/8) + (0 * -3/2) + (3/8 * 13/8)
(AB · BC) = (143/64) + (0) + (39/64)
(AB · BC) = 182/64
(AB · BC) = 91/32

Теперь можем подставить соответствующие значения в формулу:
cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| |BC|)
cos(θ) = (91/32) / ((13/8) * (sqrt(299)/8))
cos(θ) = (91/32) / ((13 * sqrt(299)) / 64)
cos(θ) = (91/32) * (64 / (13 * sqrt(299)))
cos(θ) = (91 * 64) / (32 * 13 * sqrt(299))
cos(θ) = 5824 / (416 * sqrt(299))
cos(θ) = 5824 / (416 * sqrt(299))

Мы получили значение косинуса угла между прямыми. Чтобы найти сам угол, нам необходимо взять арккосинус полученного значения:

θ = arccos(5824 / (416 * sqrt(299)))

Вычисления этого значения требуют дополнительных усилий, но основной шаг заключается в нахождении косинуса угла между прямыми.