найдите синус угла между прямой заданной параметрическими уравнениями x=1+2t,y=1+2t,z=1-t и плоскостью заданной уравнением х+2у

Добрый день!

Для начала вспомним определение синуса угла между прямой и плоскостью. Синус данного угла равен отношению модуля скалярного произведения нормального вектора плоскости на направляющий вектор прямой к произведению модулей этих векторов. Формула записывается следующим образом:

sin(α) = |n * u| / (|n| * |u|),

где n - нормальный вектор плоскости, u - направляющий вектор прямой, α - угол между прямой и плоскостью.

Теперь приступим к решению вашего уравнения.

Параметрические уравнения прямой заданы следующим образом:
x = 1 + 2t,
y = 1 + 2t,
z = 1 - t.

Заметим, что коэффициенты при t в уравнениях x и y равны, что означает, что направляющий вектор прямой будет иметь координаты (2, 2, -1). Таким образом, u = (2, 2, -1).

Теперь нам необходимо найти нормальный вектор плоскости, заданной уравнением х + 2у = 0. Для этого перепишем уравнение в общем виде, получим х + 2у + 0z = 0. Таким образом, координаты нормального вектора равны (1, 2, 0). Итак, n = (1, 2, 0).

Теперь вычислим синус угла α следующим образом:

sin(α) = |n * u| / (|n| * |u|),

где * обозначает скалярное произведение.

Вычислим числитель:
n * u = ( 1 * 2) + ( 2 * 2) + ( 0 * -1) = 2 + 4 + 0 = 6.

Вычислим знаменатель:
|n| = sqrt( 1^2 + 2^2 + 0^2) = sqrt(1 + 4 + 0) = sqrt(5),
|u| = sqrt( 2^2 + 2^2+ (-1)^2) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3.

Теперь можем вычислить sin(α):
sin(α) = 6 / ( sqrt(5) * 3) = 6 / (3 * sqrt(5)) = 2 / sqrt(5) = 2 * sqrt(5) / 5.

Таким образом, синус угла α между прямой и плоскостью равен 2 * sqrt(5) / 5.

Надеюсь, я смог дать подробный и понятный ответ на ваш вопрос. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!