Найдите радиус основания и высоту цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, ребра которой равны 1 см.
Сделайте рисунок.
​

Для начала, давайте вспомним, что такое правильная шестиугольная призма.

Правильная шестиугольная призма - это трехмерное геометрическое тело, у которого основание представляет собой правильный шестиугольник, а все боковые грани - прямоугольные треугольники.

Теперь давайте рассмотрим цилиндр, вписанный внутрь такой призмы. Что значит, что цилиндр вписан в призму? Это означает, что все основания цилиндра лежат на шестиугольнике основания призмы, а боковая поверхность цилиндра касается всех трех прямоугольных треугольников призмы.

Чтобы найти радиус основания цилиндра, нам понадобится определить, где именно находятся вершины цилиндра, которые касаются основания призмы.

Посмотрите на рисунок, представляющий собой вид сверху на основание правильной шестиугольной призмы.

O
/ \
/ \
/_________\
| |
| |
|___________|

Здесь буква "О" обозначает центр окружности, которая описывает основание призмы, а линия, проведенная от центра до одной из его вершин, обозначает радиус этой окружности. Пусть этот радиус будет равен "r".

Теперь задача сводится к определению, каков диаметр основания призмы. Давайте обратимся к величине, которая нам дана - ребру призмы.

Соединяя центр окружности с двумя соседними вершинами шестиугольника, мы получаем равносторонний треугольник, у которого все стороны равны 1 см.

/\
/ \
/____\

В таком треугольнике радиус окружности (r) и сторона (a) образуют угол в 60 градусов. По свойству равностороннего треугольника, каждый угол в нем равен 60 градусов.

/\
/ \
/____\

Теперь мы знаем, что радиус окружности (r) и одна из сторон шестиугольника (a) образуют угол в 60 градусов. Теперь нам нужно найти длину стороны шестиугольника (a).

Для этого нам понадобится воспользоваться свойством правильного шестиугольника. У правильного шестиугольника все стороны равны. Таким образом, ребро призмы (1 см) - это также длина одной из сторон шестиугольника (a).

Теперь, чтобы найти радиус основания цилиндра (r), мы можем использовать тригонометрическую формулу.

В равностороннем треугольнике величина радиуса (r) связана с длиной стороны (a) следующим образом: r = a / ( 2 * sin(60) ).

Мы знаем, что длина стороны (a) равна 1 см и что sin(60 градусов) равен √3/2.

Теперь вычислим радиус основания цилиндра:

r = 1 / (2 * √3/2) = 1 / (√3) = √3 / 3.

Таким образом, радиус основания цилиндра равен √3 / 3 см.

Теперь осталось найти высоту цилиндра.

Высота цилиндра - это расстояние от вершины одного из прямоугольных треугольников до основания призмы.

_________
/ \
/ \
/_____________\

На рисунке показан прямоугольный треугольник, вершина которого совпадает с центром основания призмы, а одна из его сторон лежит на окружности, описывающей основание призмы.

Мы знаем, что угол в таком треугольнике (α) равен 30 градусов, поскольку он образован одним из равносторонних треугольников, стороны которого равны 1 см.

Чтобы найти высоту цилиндра (h), мы можем использовать тригонометрическую формулу.

Величина высоты цилиндра (h) связана с радиусом его основания (r) и углом (α) следующим образом: h = r * tan(α).

Мы знаем, что радиус основания (r) равен √3 / 3 см и что tan(30 градусов) равен 1 / √3.

Теперь вычислим высоту цилиндра:

h = (√3 / 3) * (1 / √3) = 1 / 3.

Таким образом, высота цилиндра равна 1 / 3 см.

Итак, радиус основания цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, равен √3 / 3 см, а высота цилиндра равна 1 / 3 см.