Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

Высота, проведенная к меньшей стороне треугольника, по длине самая большая, и наоборот, к большей стороне - самая короткая. 
Пусть меньшая сторона будет b, а высота к ней =6  
вторая сторона а, и высота к ней 4 см 
третья сторона с, и высота к ней 3 см.  
Запишем площадь треугольника по классической формуле S=ha:2 для каждой стороны: 
S=4a:2
 S=3c:2 
S=6b:2 
Площадь треугольника, найденная любым одна и та же.  
Поэтому  3c:2=6b:2 
с=2b 
4a:2=6b:2 
а=1,5b
Вычислим площадь треугольника по формуле Герона, выразив длину сторон через b. 
Полупериметр 
 р=(а+b+с):2=(b+1,5b+2b):2=4,5b:2=2,25b 
S=√(2,25b*0,75b*1,25b*0,25b)=√0,52734375b⁴ 
S=0,72618b² 
0,72618b²=6b:2
0,72618b=3 
b=3:0,72618=4,1312 
S=6b:2= 6*4,1312:2=12,3936 см² 
 Попутно: 
с=2b=8,2624 
а=1,5b=6,1968 
Вычислив площадь по формуле S=ha:2 для  каждой стороны с данной в условии высотой, получим равные значения площади.