Найдите площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 24 см, а сторона основания равна 18 см

Обозначим основание вершин треугольника А В С, а высоту ДО. В основании правильной трёхугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник, поэтому АВ=ВС=АС=18см. Найдём его площадь по формуле: S=а²√3/4, где а- сторона треугольника.

S=18²√3/4=324√3/4=81√3см²

Итак: Sосн=81√3см²

Проведём в ∆АВС высоту ВК. Теперь найдём высоту ВК, через площадь по формуле: S=½×a×ВК, где а - сторона основания, а ВК- высота, которая проведена к стороне:

½×18×ВК=81√3

9h=81√3

ВК=81√3÷9

ВК=9√3см

Так как ∆АВС равносторонний, то высота ВК является ещё и медианой, и точка О является ортоцентром ∆АВС, пересекаясь в этой точке все медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1. Поэтому ВО:ОК=2:1. Обозначим эти пропорции как х и 2х и составим уравнение:

х+2х=9√3

3х=9√3

х=9√3÷3

х=3√3

Итак: ОК=3√3см, тогда ОВ=3√3×2=6√3см

Рассмотрим ∆ВОД. Он прямоугольный и в нём ВО и ДО являются катетами а ВД - гипотенуза. Найдём  боковое ребро ВД по теореме Пифагора: ВД²=ОД²+ОВ²=

=24²+(6√3)²=576+36×3=576+108=684см

ВД=√684=6√19см

Так как пирамида правильная то все её рёбра равны: АД=СД=ВД=6√19см.

Найдём площадь боковой грани пирамиды по формуле: Рассмотрим боковую грань ВСД. Она является равнобедренным треугольником. Проведём апофему (высоту боковой грани) ДН. Она делит этот треугольник на

2 прямоугольных треугольника, в которых АН и СН - катеты, а ВД и СД - гипотенуза, и ДН является ещё медианой, поскольку ∆ДВС - равнобедренный, поэтому ВН=СН=18/2=9см

Найдём апофему ДН по теореме Пифагора: ДН²=СД²-СН²=(6√19)²-9²=

=36×19-81=684-81=603; ДН=√603=3√67см

ДН=3√67см

Теперь найдём площадь боковой грани пирамиды зная её сторону и апофему по формуле: S=½×а×h=½×9×3√67=4,5×3√67=

=13,5√67см²

Итак: Sбок.гр=13,5√67см²

Поскольку таких граней 3, то площадь боковой поверхности будет:

Sбок.пов=13,5√67×3=40,5√67см²

Теперь найдём площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади её основания и боковой поверхности:

Sпол=Sосн+Sбок.пов=81√3+40,5√67=

=81×1,73+40,5×8,19=140,13+331,695=

=471,825см²

ОТВЕТ: Sосн=81√3≈140,13см²;

Sбок.пов=40,5√67≈331,695см²;

Sпол=471,825см²