Найдите площадь боковой поверхности и объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AA1 = 9 см, AC = 7 см, BC = 5 см, угол ABC = 120°.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АА1= 9 см, АС= 7 см, ВС= 5 см, ∠АВС= 120°.

Найти: S боковой поверхности, V(объём)

Решение.

1) У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани - прямоугольники.

В ΔABC по теореме косинусов найдём сторону АВ.

АС²= АВ²+ВС²–2АВ•ВС•cos120°;

49= AB²+25–2•5•AB•(–½);

49= AB²+5AB+25;

AB²+5AB–24= 0;

По т.Виета решаем это кв.уравнение и получаем: АВ=3 или АВ= –8. Отрицательным не может быть, значит, делаем вывод, что АВ= 3 см.

2) А теперь вспоминаем все формулы (во вложении)

3) Сначала находим площадь основания.

Sосн.= АВ•ВС•sin120°= 3•5• (√‎3/2)= (15√‎3)/2.

4) Находим объём:

V= Sосн.•АА1= (15√‎3)/2 •9= (135√‎3)/2 (см³).

5) Находим площадь боковой поверхности.

S бок.= 2•АВ•АА1+2•ВС•АА1= 2•3•9+2•5•9= 144 см²

ответ: S= 144 см², V= (135√‎3)/2 см³

АС- это диагональ параллелограмма, лежащего в основании. по теореме косинусов АС²=ВС²+АВ²-2АВ*ВС*cos120°

Пусть АВ=х, тогда 49=25+х²-10*х*(-1/2)

х²+5х-24=0, по Виету  х=-8, ∅, т.к. сторона не может быть отрицательной, х=3, значит, АВ=3см, тогда объем равен

(АВ*ВС*sin120°/2)*AA₁=3*5*9√3/2=67.5√3/cм³/

Площадь боковой поверхности равна 9*(5+5+3+3)=16*9=144/см²/