Найдите место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника.

это чисто техническая задача - при условии,что вы знаете формулу Лейбница. А если не знаете - то и не решите :))) Итак, если О - центроид (точка пересечения медиан) ЛЮБОГО треугольника АВС, а Р - произвольная точка плоскости, то

3*РО^2 = (PA^2 + PB^2 + PC^2) - (OA^2 + OB^2 + OC^2); это и есть формула Лейбница. Очень рекомендую уметь её выводить.

Для ПРАВИЛЬНОГО треугольника ОА = ОВ = ОС = a/корень(3); а - сторона.

(OA^2 + OB^2 + OC^2) = a^2;

По условию, (PA^2 + PB^2 + PC^2) = (3*a)^2 = 9*a^2;

Получаем 3*PO^2 = 9*a^2 - a^2 = 8*a^2;

PO^2 = a^2*8/3;

Это - окружность с центром в точке О и радиусом a*корень(8/3);

Если надо показать вывод формулы Лейбница - публикуйте : это вообще-то не простая задачка, уж точно не на 5 очков : шучу, если надо - пишите...