Найди на рисунке среднюю линию треугольника abc,и треугольника BA²C²

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Говоря о средней линии, третью сторону треугольника будем называть основанием.

Так, на рис. 1 показана средняя линия KL треугольника ABC. В этом случае мы называем

основанием сторону AC.

A

B

C

K L

Рис. 1. Средняя линия

Теорема о средней линии. Средняя линия треугольника: 1) параллельна основанию; 2) равна половине основания.

Доказывая теорему о средней линии, мы продемонстрируем один приём, который бывает

полезен в задачах. А именно, мы как бы заходим с другой стороны: вместо того, чтобы проводить среднюю линию и доказывать параллельность, мы проводим через середину стороны

прямую, параллельную основанию, и показываем, что получится средняя линия.

Доказательство. Пусть K — середина стороны AB треугольника ABC. Проведём KL параллельно основанию AC (рис. 2). Имеем: ∠BKL = ∠BAC (как соответственные углы при

параллельных прямых KL и AC).

A

B

C

K L

M

Рис. 2. К теореме о средней линии

Проведём также LM k AB. Имеем: ∠MLC = ∠ABC (снова как соответственные углы).

Кроме того, четырёхугольник AKLM — параллелограмм по построению. По свойству параллелограмма LM = AK и, стало быть, LM = KB.

Таким образом, треугольники KBL и MLC равны по стороне и двум прилежащим к ней

углам. Следовательно, BL = LC (эти стороны являются соответствующими, так как лежат

напротив равных углов), и потому KL — средняя линия. Итак, средняя линия параллельна

основанию — первое утверждение теоремы доказано.

1

Из равенства треугольников KBL и MLC следует также, что KL = MC. Вместе с тем, по

свойству параллелограмма имеем KL = AM. Значит, M — середина AC, и KL = AC/2. Тем

самым доказано второе утверждение теоремы.

Теорема о средней линии, очень важная сама по себе, позволяет доказать также весьма

важную теорему о медианах треугольника.

Теорема о медианах. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой

точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины треугольника).

Доказательство. Докажем прежде всего, что две медианы делятся точкой пересечения в

отношении 2 : 1, считая от вершины.

Пусть медианы AL и CK треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 3). Пусть также

M — середина CO и N — середина AO.

A

B

C

K L

MN

O

Рис. 3. К теореме о медианах

Отрезок KL есть средняя линия в треугольнике ABC; по теореме о средней линии имеем

KL k AC и KL = AC/2.

Отрезок NM есть средняя линия в треугольнике AOC, поэтому NM k AC и NM = AC/2.

Следовательно, KL k NM и KL = NM. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две

стороны равны и параллельны, и потому KLMN — параллелограмм. Поскольку диагонали

параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем KO = OM и LO = ON. Отсюда

следует, что AO = 2OL и CO = 2OK, то есть медианы AL и CK делятся точкой O в отношении

2 : 1, считая от вершин.

Нам остаётся доказать, что третья медиана BP также проходит через точку O. В самом

деле, предположим, что медианы BP и AL пересекаются в точке O1. Тогда, как мы только что

доказали, должно быть выполнено равенство AO1 : O1L = 2 : 1. Но ведь и AO : OL = 2 : 1;

следовательно, точка O1 совпадает с O. Теорема доказана.

Задачи

1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.

2. Дан треугольник с периметром 6. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах

сторон данного треугольника.

3

2

3. Две стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые,

параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.

b +a

4. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

5. В четырёхугольнике сумма длин диагоналей равна 5. Найдите периметр четырёхугольника

с вершинами в серединах сторон данного,

5

6. Диагональ прямоугольника равна 1. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в

серединах сторон прямоугольника.

2

7. Диагонали ромба равны 6 и 10. Найдите стороны и углы четырёхугольника с вершинами в

серединах сторон этого ромба.

◦ 90 3, 5, 3, 5; все углы равны

8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого

угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.

9. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и

медиана, проведённая из вершины A, делят друг друга пополам.

10. Угол A ромба ABCD равен 45◦

, проекция стороны AB на сторону AD равна 10. Найдите

расстояние от центра ромба до его стороны.

5

11. Расстояние между серединами перпендикулярных хорд AC и BC окружности равно 7.

Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения этих хорд.

7

Объяснение: