На сторонах ас и вс треугольника авс вне треугольника построены квадраты acde и bfkc. точка м – середина стороны. а) докажите, что см =1/2dk. б) найдите расстояние от точки м до центров квадратов, если ас=6, вс=10 и угол асв равен 30°.

Вся эта конструкция является частью замощения плоскости, представленного на рисунке.
Замощение переходит "в себя" при повороте всей плоскости на 90° вокруг центра любого из квадратов.
Все "белые" параллелограммы равны между собой. Отсюда следует а).
б) Фигура, изображенная красным на рисунке - это квадрат. Поскольку, к примеру, две её стороны, выходящие из центра большего квадрата, равны и перпендикулярны (еще раз - одна переходит в другую при повороте на 90° вокруг их общей вершины). То же касается и двух сторон, у которых общая вершина - центр меньшего квадрата.
Поэтому расстояние от M до центров квадратов одинаковое, и равно стороне красного квадрата. Проще всего найти диагональ этого квадрата - надо соединить центры большого и малого квадратов с точкой C и между собой. Получится треугольник O1O2C с углом O1CO2;
∠O1CO2 = ∠ACB + ∠O1CA + ∠O2CB = 30° + 45° + 45° = 120°; и сторонами AO1 = 6√2/2 = 3√2; BO2 = 10√2/2 = 5√2;
Отсюда (O1O2)^2 = (5√2)^2 + (3√2)^2 + 2*(5√2)*(3√2)*(1/2) = 2*49;
O1O2 = 7√2; откуда MO1 = MO2 = 7;