На рисунке 61 ab = cd и bc = ad. докажите, что bc || ad​

Добрый день! Рад принять роль школьного учителя и ответить на ваш вопрос.

Дано:
На рисунке 61 имеем отрезки ab и cd, которые равны между собой, то есть ab = cd. И также отрезок bc равен отрезку ad, то есть bc = ad.

Требуется:
Доказать, что отрезки bc и ad параллельны.

Решение:
Для начала, давайте вспомним некоторые ключевые определения и свойства.

Определение 1: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Определение 2: В случае, когда две прямые пересекаются третья прямая, образующая при этом прямые углы с обеими прямыми, называется поперечной или трансверсальной прямой.

Теперь начнем доказательство.

Дано: ab = cd (1) и bc = ad (2).

Предположим, что прямые bc и ad не параллельны. Тогда они должны пересекаться в какой-то точке. Обозначим точку пересечения прямых bc и ad как точку P.

Теперь рассмотрим треугольники Pbc и Pad.

У нас есть следующие равенства:
bc = ad (из условия 2)
bp = ap (сторона общая для обоих треугольников)
По условию ab = cd (1), следовательно, bp = cp.

Теперь рассмотрим углы треугольников. Так как прямые bc и ad пересекаются в точке P, то радианная мера угла bpc будет равна радианной мере угла apd, так как они соответственные углы при пересечении параллельных прямых.

Таким образом, у нас имеются следующие равенства углов:
∠bpc = ∠apd
∠pbc = ∠pad

Теперь рассмотрим треугольники Pbc и Pad в целом.

У нас есть 2 равные стороны: bp = ap и bc = ad, и у нас есть две пары равных углов: ∠bpc = ∠apd и ∠pbc = ∠pad. По цепочке этих равенств, мы можем сделать вывод, что треугольник Pbc равен треугольнику Pad (по принципу равенства треугольников сторона-угол-сторона).

Но, в треугольнике Pbc угол ∠bpc является внутренним углом, а в треугольнике Pad угол ∠pad является внешним углом. В свою очередь, по свойству треугольников, все внутренние углы всегда меньше внешних углов.

Получили противоречие: треугольник Pbc не может равняться треугольнику Pad, так как у них есть разница внутреннего и внешнего углов.

Таким образом, наше предположение о том, что bc и ad не параллельны, неверно. Мы получаем, что две прямые bc и ad должны быть параллельными, так как они не пересекаются и лежат в одной плоскости. Доказательство завершено.

Вывод:
Мы доказали, что отрезки bc и ad параллельны на основе данного условия ab = cd и bc = ad.