На основании ac равнобедренного треугольника abc взята точка d так что сумма расстояний от неё до сторон ab и bc равна 12 см.найдите высоту треугольника проведённую из вершины c.

В данном нам равнобедренном треугольнике abc, высоты (они же биссектрисы и медианы), проведенные из равных углов (при основании) РАВНЫ. Проведем эти высоты AL и CK. Расстояния от точки d на основании АС - это отрезки dm и dn, параллельные высотам CK и AL соответственно. Прямоугольные треугольники АКС и ALC равны, так как АС - общая гипотенуза, катеты КС и AL - равны и равны углы LAC и КСА (так как AL и КС биссектрисы). Итак, в этих равных треугольниках линии dm и dn образуют подобные треугольники Adm и AKC, Cdn и CAL. Из их подобия имеем следующие отношения:

1)КС/dm=AC/Ad; 2)KC/dm=AC/dC. dm = 12-dn (дано) а  Ad = АС-dC. Подставляем и имеем:

из 1): KC/12-dn = AC/AC-dC отсюда KC*(AC-dC) = AC*(12-dn) далее KC*AC - KC*dC = 12AC - AC*dn. Из 2): КС*dС = AC*dn. Из второго вставляем в первое и получаем:

КС*АС - АС*dn = 12АС - АС*dn или КС*АС = 12АС. И окончательно КС = 12, что и надо было найти.