На одній стороні кута з вершиною в точці о позначено точки а і в, а на другій – точки с і d так, що оа = ос, ав = сd, точка а належить відрізку ов, точка с – відрізку оd. доведіть, що промінь ом є бісектрисою кута воd, де м – точка перетину прямих аd і вс.

OB =OA+AB =OC+CD =OD

△BOC=△DOA (по двум сторонам и углу между ними), ∠B=∠D

∠AMB=∠CMD (вертикальные)

В треугольниках BAM и DCM два угла равны, следовательно все углы равны, ∠BAM=∠DCM

△BAM=△DCM (по стороне и прилежащим к ней углам), AM=CM

△AOM=△COM (по трем сторонам), ∠AOM=∠COM, OM - биссектриса ∠AOC.

Или  

Прямые AC и BD отсекают на сторонах угла равные отрезки, следовательно прямые параллельны (теорема Фалеса), ACDB - трапеция. По теореме о четырех точках трапеции OM проходит через середину AC и является в равнобедренном треугольнике AOC медианой и биссектрисой.