На листе бумаги, являющимся квадратом pqml, прорезано отверстие - равносторонний треугольник abcтак, что ab||pl и ab: pl=1: 2. затем квадрат свернут в круглую цилиндрическую поверхность, ось которой перпендикулярна к отрезку ab. найдите отношение площади квадрата к площади треугольника авс, вершины которого лежат на цилиндрической поверхности

При сворачивании точки А и В окажутся на противоположных сторонах окружности, так, что АВ будет диаметром окружности (которая поучается сечением цилиндра плоскостью, проходящей через А и В перпендикулярно оси).  Почему? да просто PL станет окружностью (основанием цилиндра), а дуга АВ - это половина окружности. 

Поскольку "несвернутый" треугольник АВС - равносторонний, то (внимание!) проекция "свернутого" треугольника на основание цилиндра будет равнобедренным треугольником (это следует из симметрии равностороннего треугольника), да еще - к тому же, как я уже сказал - опирающимся на диаметр. То есть это будет прямоугольный равнобедренный треугольник. 

Кроме того, при сворачивании расстояние от точки С до плоскости сечения цилиндра через точки А и В не изменяется - сворачивание происходит вокруг оси, параллельной высоте "несвернутого" треугольника. 

На самом деле, нам уже известно все, что надо, для вычисления площади "свернутого" треугольника АВС. 

Пусть сторона квадрата равна 1. Тогда "несвернутая" АВ = 1/2, высота "несвернутого" АВС равна (1/2)*корень(3)/2 = корень(3)/4. 

Сворачиваем. Сторона квадрата превращается в окружность, и "свернутая" АВ -  её диаметр. То  есть у полученной (в основании) окружности радиус 1/(2*пи), а диаметр АВ = 1/пи. "Свернутый" треугольник АВС при этом - равнобедренный, его высота к АВ равна расстоянию от точки С на поверхности цилиндра до середины диаметра АВ. При этом расстояние от С до плоскости АВ (перпендикулярной оси) равно высоте исходного "несвернутого" треугольника, то есть корень(3)/4, а расстояние от С до О определяется по теореме Пифагора

СО = корень((1/(2*пи))^2 + ((корень(3)/4)^2);

Площадь "свернутого" АВС равна

АВ*СО/2 = (1/2*пи)*корень((1/(2*пи))^2 + ((корень(3)/4)^2);

ну, поупрощайте... сильно не получится...