На каком расстоянии от диагонали куба находятся его вершины,не принадлежащие этой диагонали, если объем шара,описанного около этого куба равен 10 2/3 пи

 надо искать радиус сферы.
Объём шара вычисляется по формуле
V = 4πR³/3
По условию V = 10 2/3 π = 32π/3
4πR³/3 = 32π/3
R³ = 8
R = 2
расстояние от вершины, не принадлежащей данной диагонали до данной диагонали явялется высотой в треугольнике, образованном диагональю куба, диагональю боковой грани и ребром куба.
Диагональ куба равна двум радиусам Д = 4
Длина ребра равна а = Д/√3 = 4/√3
Длина диагонали боковой грани равна д = а√2 = 4√2/√3
Высота Н, опущенная на диагональ из вершины куба делит ее на отрезки х и 4-х
Найдём сначала х
с одной стороны: Н² = д² - х²
с другой стороны: Н² = а² - (Д - х)²
д² - х² = а² - Д² + 2Дх - х²
2Дх = Д² + д² - а²
8х = 16 + 32/3 - 16/3
8х = 64/3
х = 8/3
Тогда Н² = д² - х² = 32/3 - 64/9 = 32/9
Н = (4√2)/3
ответ: (4√2)/3