На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен равнобедренный треугольник AMB (BM=AM=10). Найдите максимальную длину отрезка CM, если угол BAC=arccos3/5.

Добрый день!

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать теорему косинусов. Вспомним формулу этой теоремы:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C),

где c - длина гипотенузы, a и b - длины катетов, C - угол между катетами.

В нашей задаче, мы знаем, что гипотенуза AB равна с и угол BAC равен arccos3/5. Также, длина катетов AM и BM равна 10. Наша задача - найти максимальную длину отрезка CM.

У нас есть два способа решить эту задачу. Первый способ - использовать готовую формулу косинусов, а второй способ - использовать готовые соотношения в прямоугольных треугольниках. Давайте начнем с первого способа.

СПОСОБ 1: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ КОСИНУСОВ

Мы хотим выразить длину отрезка CM через известные значения. Для этого рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что AM = BM = 10 и угол BAC = arccos3/5.

Теперь обратимся к формуле косинусов. Подставим известные значения:

AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(BAC).

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, AC и BC - это длины катетов, а AB - это длина гипотенузы. Заметим, что мы знаем значения AC и BC:

AC = AM = 10,
BC = BM = 10.

Подставим эти значения в формулу:

AB^2 = 10^2 + 10^2 - 2 * 10 * 10 * cos(BAC).

Так как AB - это гипотенуза, то AB^2 = c^2:

c^2 = 10^2 + 10^2 - 2 * 10 * 10 * cos(arccos3/5).

cos(arccos3/5) = 3/5 (по свойству арккосинуса).

c^2 = 10^2 + 10^2 - 2 * 10 * 10 * 3/5.

c^2 = 200 - 120 = 80.

Теперь мы знаем, что c^2 = 80. Найдем длину отрезка CM.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник CMB. Заметим, что CM - это катет треугольника, а MB - это гипотенуза. Мы знаем, что MB = AM = 10 и длина катета CM - наша неизвестная величина.

Используем теорему Пифагора:

MB^2 = CM^2 + BM^2.

Подставим известные значения:

10^2 = CM^2 + 10^2.

CM^2 = 100 - 100 = 0.

Мы получили, что CM^2 = 0. Это значит, что CM = 0.

Таким образом, максимальная длина отрезка CM в этой задаче равна 0.

СПОСОБ 2: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СООТНОШЕНИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Второй способ решения этой задачи основан на свойствах прямоугольных треугольников и тригонометрических функций.

Мы знаем, что AM = BM = 10 и угол BAC = arccos3/5.

Рассмотрим треугольник AMC. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти длину отрезка CM.

sin(AMC) = CM/AM.

Перепишем это уравнение:

CM = AM * sin(AMC).

Подставим известные значения:

CM = 10 * sin(arccos3/5).

Мы знаем, что sin(arccos3/5) = sin(BAC) = √(1 - cos^2(BAC)).

cos(BAC) = 3/5, поэтому sin(arccos3/5) = √(1 - (3/5)^2) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5.

Подставим этот результат:

CM = 10 * 4/5 = 40/5 = 8.

Таким образом, максимальная длина отрезка CM равна 8.

Вот и все! Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.