Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам перпендикулярны. найдите косинус угла лежащего напротив основания. заранее !

x - кусок медианы к боковой стороне между точкой пересечения и стороной. 
Основание 2*x*√2; боковая сторона 2*x*√5; sin(A/2) = 1/√10; cos(A/2) = 3/√10; sin(A) = 3/5; cos(A) = 4/5

Так телеграфно :))) Основание выражено через х из треугольника, образованного кусками медиан от вершин до точки пересечения. Половина боковой стороны является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике - там катеты х и 2*х;

Дальше очевидно.

Если нужно искать решение, а формула для синуса удвоенного угла  пока не проходилась (бывает такое), то надо найти высоту (через х, конечно), потом площадь, потом отсюда - высоту к боковой стороне (просто поделив площадь на боковую сторону), и синус уже перед нами :))) а если еще и теорему Пифагора применить для вычисления отрезка боковой стороны от вершины до основания высоты к ней, то и косинус тут же найдется. Тут что приятно - там египетский треугольник (3,4,5) получится (высота, боковая сторона и часть другой боковой стороны).