Круговой сектор ограничен радиусами, равными 5см, и дугой в 90°. найдите площадь круга, вписанного в этот сектор.

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.
Вписанная в сектор окружность касается  дуги сектора в точке пересечения биссектрисы с дугой сектора - в точке М.
Проведем радиус ОМ в эту точку.
К точке М проведем касательную АВ до пересечения с продолжениями сторон сектора.
Треугольник АОВ - равнобедренный, т.к. углы А и В равны 45° ( из треугольников АМО и ВМО)
Окружность, вписанная в сектор, вписана также в равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором радиус сектора является медианой. ⇒АВ=10, АМ=МВ=5, 
АО=ОВ=5√2 по свойству гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находят по формуле:
r=(a+b-c):2
r=(10√2 -10):2=5(√2 -1)
Площадь круга 
S=πr²=5²(√2 -1)²
S=25π (3-2√2) и это примерно 4,29π см² или ≈13,475 см²