Контрольная работа по теме «Параллелограмм и его виды» Вариант 1
1. Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше другой, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны параллелограмма.
2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, AB = 10 см, BD = 12 см. Найдите периметр треугольника COD.
3. Один из углов ромба равен 64°. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.
4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK (точка M лежит между точками B и K). Докажите, что BM = DK.
5. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M,
BM : MC = 4 : 3. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 28 см.
6. Через середину K гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке D, а другая — катет BC в точке E. Найдите отрезок DE, если AB = 12 см.

1. Для решения задачи, мы можем представить стороны параллелограмма в виде 3х и х, где х - меньшая сторона.
Таким образом, периметр параллелограмма может быть записан следующим образом: P = 2(3х + х).

Подставим значение периметра в уравнение: 72 = 2(3х + х).

Упростим уравнение: 72 = 8х.

Теперь решим уравнение: х = 72/8 = 9 см.

Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равна 9 см, а большая сторона равна 3 * 9 = 27 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 9 см и 27 см.

2. У нас дан прямоугольник ABCD с диагоналями, которые пересекаются в точке O. Мы знаем значения одной стороны AB = 10 см и диагонали BD = 12 см.

Чтобы найти периметр треугольника COD, нам сначала нужно найти длину стороны CD. Мы знаем, что противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому BC = AD = 10 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения CD:

CD² = BC² + BD² = 10² + 12² = 100 + 144 = 244.

Итак, CD = √244 ≈ 15,62 см.

Далее, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла C в треугольнике COD.

cos(C) = (CD² + OD² - OC²) / (2 * CD * OD).

Мы знаем, что OD - это половина диагонали BD, поэтому OD = 12 / 2 = 6 см.

Подставим значения в формулу и найдем cos(C):

cos(C) = (15,62² + 6² - OC²) / (2 * 15,62 * 6).

Теперь решим уравнение на cos(C):

cos(C) = (243,84 + 36 - OC²) / 187,44.

OC² = 243,84 + 36 - cos(C) * 187,44.

Вопрос не содержит информацию об угле, поэтому мы не можем точно найти значение OC² и, следовательно, значение периметра треугольника COD.

Ответ: периметр треугольника COD не может быть найден без дополнительной информации.

3. У нас есть ромб с одним углом, равным 64°.

Так как углы ромба все равны, то они могут быть обозначены как α, α, β, β.

Мы знаем, что сумма углов в ромбе равна 360°, тогда:

2α + 2β = 360°.

Разделим обе части уравнения на 2:

α + β = 180°.

Также из условия нам известно, что α = 64°.

Подставив это значение в уравнение, получим:

64° + β = 180°.

β = 180° - 64° = 116°.

Ответ: углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями, равны 64° и 116°.

4. В данной задаче мы должны доказать, что BM = DK.

Для начала посмотрим на многоугольник ABCD.

Мы знаем, что ∠BAM = ∠DCK.

Если докажем, что ∠ABM = ∠CDK, то сможем утверждать, что треугольники ABM и CDK — подобные.

Это происходит потому, что у них одинаковые углы, а также ∠MAB = ∠KDC (так как ∠BAM = ∠DCK).

Теперь рассмотрим треугольник AMB и ODM, где O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Мы видим, что треугольник AMB подобен треугольнику ODM. (У нас есть две пары соответственно равных углов AMB и ODM, а также ∠ABM = ∠ODK).

Отсюда следует, что соответственные стороны треугольников пропорциональны, то есть:

AM/OD = BM/DK.

Но так как AM = OD (так как это диагонали параллелограмма), то:

1 = BM/DK.

Отсюда следует, что BM = DK.

Ответ: BM = DK.

5. В данной задаче у нас есть параллелограмм ABCD с биссектрисой угла, которая пересекает сторону BC в точке M.

Мы знаем, что BM : MC = 4 : 3 и BC = 28 см.

Чтобы найти периметр параллелограмма, нам нужно найти значения сторон AB и AD.

Так как BM : MC = 4 : 3, мы можем представить BM и MC как 4x и 3x, где x - некоторая константа.

Тогда BC = BM + MC = 4x + 3x = 7x = 28 см.

Разделим обе части уравнения на 7: x = 4 см.

Теперь мы можем найти значения сторон AB и AD:

AB = BM + AM = 4x + 3x = 7x = 7 * 4 = 28 см.

AD = MC + MD = 3x + 4x = 7x = 7 * 4 = 28 см.

Так как все стороны параллелограмма равны, периметр равен сумме четырех сторон:

П = AB + BC + CD + DA = 28 + 28 + 28 + 28 = 112 см.

Ответ: периметр параллелограмма равен 112 см.

6. У нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и точкой K на гипотенузе AB.

Мы можем представить длину отрезка AK как x, а длину отрезка KB как y.

Так как прямые, проходящие через середину гипотенузы и параллельные катетам, делят гипотенузу на три равных отрезка, то мы можем утверждать, что AK = KB = (1/3) * AB.

Таким образом, x = y = (1/3) * 12 см = 4 см.

Теперь рассмотрим треугольник ABD, где D - точка пересечения прямой, параллельной катету AC и пересекающей катет BC в точке E.

Мы знаем, что прямоугольники ADKM и BEDC равны, так как они обладают параллельными сторонами и одинаковыми углами, образованными пересекающей прямой.

Следовательно, DE = AK + KB = 4 + 4 = 8 см.

Ответ: отрезок DE равен 8 см.