Контрольная работа по геометрии по теме "Площади" Вариант I 1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см2, а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.
3. На стороне АС данного треугольника АВС постройте точку D так, чтобы площадь треугольника АВD составила одну треть площади треугольника АВС.

1. Чтобы найти площадь параллелограмма, необходимо знать длины его смежных сторон и один из его углов. В данном случае, смежные стороны равны 32 см и 26 см, а угол равен 150°.

Шаг 1: Найдем высоту параллелограмма. Для этого разделим параллелограмм на два прямоугольных треугольника. Один из углов этого треугольника будет равен 150°.

Шаг 2: В треугольнике с углом 150°, сторона, противолежащая углу 150° (в данном случае, это сторона, равная 26 см), будет основанием треугольник.

Шаг 3: Используя теорему синусов, найдем высоту треугольника и, тем самым, высоту параллелограмма. Формула для нахождения высоты треугольника H равна H = a*sin(α), где a - основание треугольника, α - угол треугольника, противолежащий основанию.

Высота треугольника АВD будет равна H = 26*sin(150°) = 26*(√3/2) = 13√3 см.

Шаг 4: Так как параллелограмм можно разделить на два треугольника, имеющих общую высоту, то площадь параллелограмма будет равна сумме площадей этих двух треугольников.

Площадь параллелограмма равна S = 2*(полупериметр треугольника АВD)*высота треугольника АВD.

Полупериметр треугольника АВD равен (32 + 26 + 26)/2 = 42 см.

Теперь найдем площадь параллелограмма:
S = 2*42*13√3 = 1092√3 см².

Ответ: Площадь параллелограмма равна 1092√3 см².

2. Чтобы найти все стороны прямоугольной трапеции, зная ее площадь, высоту и разность оснований, используем формулу для площади трапеции и выражения сторон через основания и высоту.

Шаг 1: По условию задачи, площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота равна 8 см.

Шаг 2: Формула для площади трапеции равна S = (a+b)*h/2, где S - площадь трапеции, a и b - основания, h - высота.

Подставляя значения из условия задачи, получим 120 = (a+b)*8/2.

Шаг 3: Упростим выражение: 240 = (a+b)*8.

Шаг 4: Мы также знаем, что разность оснований равна 6 см, то есть a - b = 6.

Шаг 5: Решим систему уравнений:
240 = (a+b)*8,
a - b = 6.

Используем метод подстановки.

Из второго уравнения получаем a = b + 6.

Подставляем a в первое уравнение:

240 = (b + 6 + b)*8,
240 = (2b + 6)*8,
240 = 16b + 48,
16b = 240 - 48,
16b = 192,
b = 192/16,
b = 12.

Подставляем найденное значение b во второе уравнение:

a = 12 + 6,
a = 18.

Шаг 6: Теперь, когда мы нашли значения a и b, вычислим третье основание t.

t = a - b = 18 - 12 = 6.

Ответ: Основания трапеции равны 18 см и 12 см, а третье основание равно 6 см.

3. Чтобы нарисовать точку D на стороне АС треугольника АВС, так чтобы площадь треугольника АВD составляла одну треть площади треугольника АВС, следуйте следующим шагам:

Шаг 1: Вычисляем площадь треугольника АВС.

Шаг 2: Делим площадь треугольника АВС на 3.

Шаг 3: Ищем высоту треугольника АВС по формуле площади треугольника H = (2*S)/BC, где S - площадь треугольника, а BC - основание треугольника, противолежащее этой высоте.

Шаг 4: Построим прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную стороне АС. Эта прямая должна пересекать основание треугольника АВС в точке D.

Шаг 5: Теперь мы должны найти расстояние от точки D до стороны АС. Для этого используем формулу для высоты:

H = (2*S)/BC, где H - высота треугольника, а BC - основание треугольника, противолежащее этой высоте.

Мы знаем, что площадь треугольника АВС делится на 3, и мы нашли высоту треугольника АВС в предыдущем шаге.

Шаг 6: Используя найденное расстояние, отложим его от точки С на отрезке АС и получим точку D.

Ответ: Chтобы построить точку D на стороне АС треугольника АВС так, чтобы площадь треугольника АВD составила одну треть площади треугольника АВС, нужно найти высоту треугольника АВС, которая равна (2*S)/BC, где S - площадь треугольника, а BC - основание треугольника, противолежащее этой высоте. Затем нужно провести прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную стороне АС, и отложить найденное расстояние от точки C на отрезке AC. Полученная точка D будет удовлетворять условию задачи.