Контрольная работа № 5 по теме: «Окружность» Вариант 1

1. Дана окружность с центром в точке O. AB –диаметр, точка C отмечена на окружности, угол A равен 470 . Найдите угол C и угол B.

2. AB и AC – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 6 см. Найдите длину OA и AC, если AB = 8 см.

3. Точки A и B делят окружность с центром O на дуги AMB и ACB так, что дуга ACB на 800 меньше дуги AMB. AM – диаметр окружности. Найдите углы AMB, ABM, ACB.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, и радиус окружности, описанной около треугольника, стороны которого равны 16 см, 17 см и 17см

​

Добрый день! Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1. Дана окружность с центром в точке O. AB – диаметр, точка C отмечена на окружности, угол A равен 470 градусов. Нужно найти угол C и угол B.

У нас дано, что угол A равен 470 градусов. Зная, что угол вписанный полуокружность равен 180 градусов, мы можем использовать формулу для вписанных углов:

Угол А/2 = угол С
470/2 = 235 градусов

Теперь мы знаем значение угла С. Чтобы найти угол В, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. Так как AB - диаметр, угол В будет прямым, то есть 90 градусов.

2. AB и AC – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 6 см. Найдите длину OA и AC, если AB = 8 см.

Сначала рассмотрим треугольник ABC, где AB - диаметр окружности, AC и BC - касательные. Поскольку касательные, проведенные из одной точки, равны по длине, мы можем сказать, что AB = AC. Мы также знаем, что AB = 8 см. Следовательно, AC равна 8 см.

Для нахождения длины OA, возьмем половину диаметра, так как O - центр окружности. Окружность имеет радиус 6 см, поэтому OA = 6 см.

3. Точки A и B делят окружность с центром O на дуги AMB и ACB так, что дуга ACB на 800 меньше дуги AMB. AM – диаметр окружности. Найдите углы AMB, ABM, ACB.

Поскольку AM является диаметром окружности, то угол AMB будет прямым (равным 90 градусов). Теперь у нас есть два неравные дуги, дуга ACB и дуга AMB. Мы знаем, что дуга ACB на 800 меньше дуги AMB.

Предположим, что длина дуги AMB равна Х градусов. Тогда длина дуги ACB будет Х - 800 градусов.

Углы ABM и ACB соответствуют дугам AMB и ACB, поэтому угол ABM будет равен Х градусов, а угол ACB будет равен Х - 800 градусов.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, и радиус окружности, описанной около треугольника, стороны которого равны 16 см, 17 см и 17 см.

Радиус окружности, вписанной в треугольник (инкруг), можно найти по формуле:

r = sqrt((p - a)(p - b)(p - c) / p),

где r - радиус окружности, p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

В нашем случае, стороны треугольника равны 16 см, 17 см и 17 см. Полупериметр p будет равен (16 + 17 + 17) / 2 = 25.

Подставим значения в формулу:

r = sqrt((25 - 16)(25 - 17)(25 - 17) / 25) ≈ 5.67 см.

Таким образом, радиус вписанной окружности примерно равен 5.67 см.

Радиус окружности, описанной около треугольника (описанная окружность), равен половине длины стороны треугольника, разделенной на синус угла, противолежащего этой стороне.

Давайте назовем наш треугольник ABC, где AB = 16 см, BC = 17 см и AC = 17 см. Давайте найдем угол BAC, так как это противолежащий угол для стороны BC.

Используем формулу синуса:

синус угла BAC = BC / AC,
синус угла BAC = 17 / 17,
синус угла BAC = 1.

Таким образом, угол BAC равен 90 градусов.

Теперь найдем радиус окружности:

r = AB / (2 * sin(90)),
r = 16 / (2 * 1),
r = 16 / 2,
r = 8 см.

Таким образом, радиус описанной окружности равен 8 см.

Все задачи решены! Если есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!