Контрольная работа № 3
вариант 2
15 см
70
15 см
к
701
10 см
задайте еще один элемент треугольника авс
так, чтобы верным стало утверждение:
aabc = akpm.
28" 28"
120: 20"
докажите, что дabd=a cbd.
3. периметр равнобедренного треугольника ра-
вен 20 см. его основание меньше боковой сто-
роны в 2 раза. вычислите длины сторон тре-
угольника.
4. прямая а пересекает стороны ab и ac угла
васв точках ми так, что am= an
докажите, что сумма градусных мер углов
amnи mnc равна 180°.

Добрый день, я буду выступать в роли школьного учителя и постараюсь ответить на ваш вопрос максимально подробно и обстоятельно. 1. Чтобы выполнить задание и найти требуемый элемент треугольника, нам нужно рассмотреть, какие из данных значений можно использовать при построении треугольника. У нас имеются следующие данные: - 15 см (видимо, это длина одной из сторон треугольника) - 70 (вероятно, это значение угла) Для начала определимся с названиями вершин треугольника. Пусть A, B, C будут вершинами нашего треугольника. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Если значение одного из углов треугольника равно 70°, то сумма остальных двух углов должна быть равной 110° (180° - 70°). Теперь, когда у нас есть значение двух углов, мы можем рассмотреть возможные варианты. Мы знаем, что треугольник с заданными длинами сторон может быть построен только в случае, когда сумма двух меньших сторон больше длины третьей стороны. Давайте проверим это условие. Пусть AB = 15 см, AC = 10 см, BC = 15 см (считаем отрезки AB, BC, AC по часовой стрелке). AB + AC = 15 см + 10 см = 25 см BC = 15 см Сумма двух меньших сторон (AB + AC) больше третьей стороны (BC), поэтому по данным длинам сторон треугольник можно построить. Теперь нарисуем треугольник ABC на бумаге. Это поможет нам визуализировать задачу и легче решить следующую часть задания. 2. Для доказательства равенства двух углов давайте рассмотрим фигуру, которая описывает те углы, о которых идет речь. Мы знаем, что aabc = akpm. Это значит, что угол AABC (угол при вершине A) равен углу AKPM. Давайте запишем это равенство: AABC = AKPM Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC и треугольник AKP на бумаге. Мы можем использовать геометрические инструменты (линейку, угломер) для выполнения этого задания. Нарисуем треугольник ABC и угол AKP рядом с ним. Затем проведем линии внутри треугольника ABC так, чтобы они проходили через вершины B и C и пересекались с прямой, на которой лежит угол AKP. Обозначим точки пересечения этих линий с прямой как M и N соответственно. Мы знаем, что AM = AN, так как в условии сказано, что AM = AN. Также, поскольку AKP = AABC (по условию), то и AKM = ANB (углы при вершинах K и M равны, углы при вершинах A и N равны). Теперь давайте посмотрим на треугольники AMN и MNC. Мы хотим доказать, что сумма их градусных мер равна 180°. Поскольку AM = AN, то углы AMN и ANM (углы при вершинах M и N) равны. Для того чтобы доказать равенство суммы градусных мер углов AMN и MNC, нам нужно доказать, что углы MNC и ANM (углы при вершинах N и M треугольников AMN и MNC) также равны. Давайте рассмотрим треугольник CNM и угол ANM. Обозначим угол MNC как x и угол ANM как y. Так как сумма углов треугольника CNM равна 180°, мы можем записать следующее уравнение: MNC + NMC + CNM = 180° Мы знаем, что NMC = AMN (углы при вершинах N и M треугольников AMN и MNC равны). Также, мы знаем, что CNM = ANM (по построению). Подставим эти значения в уравнение: x + AMN + y = 180° Теперь давайте вернемся к равенству AABC = AKPM и выразим угол AABC через известные значения. Мы знаем, что AABC = AKPM. Также мы знаем, что AABC + AMN = 180° (сумма углов треугольника равна 180°). Подставим это значение в уравнение: AABC + AMN = 180° AABC = 180° - AMN Теперь у нас есть выражение для угла AABC через известное значение угла AMN. Найдем соотношение между углами AMN и x (угол MNC): AMN + x = AABC Подставим выражение для AABC и докажем равенство: AMN + x = 180° - AMN 2AMN + x = 180° Теперь вернемся к уравнению для треугольника CNM: x + AMN + y = 180° Подставим значение x из выражения выше: 2AMN + AMN + y = 180° 3AMN + y = 180° Выразим y через известные значения: y = 180° - 3AMN Теперь у нас есть выражение для y через известное значение угла AMN. Доказательство: Для доказательства того, что сумма градусных мер углов AMN и MNC равна 180°, нам нужно доказать, что 3AMN + y = 180°. Мы знаем, что y = 180° - 3AMN (по выведенному ранее). Подставим это значение и докажем равенство: 3AMN + (180° - 3AMN) = 180° 3AMN - 3AMN + 180° = 180° 180° = 180° Мы видим, что оба уравнения сокращаются до равенства 180° = 180°, что говорит о том, что сумма градусных мер углов AMN и MNC равна 180°. 3. Для решения этой задачи нужно внимательно прочитать условие и разобраться с данными. У нас есть равнобедренный треугольник, у которого периметр равен 20 см. Мы также знаем, что длина основания меньше длины боковой стороны в 2 раза. Обозначим длину основания треугольника как x, а длину боковой стороны как y. У нас есть следующая информация: 2x + y + y = 20 Поскольку боковая сторона равна двум основаниям (основание меньше боковой стороны в 2 раза), мы можем переписать уравнение: 2x + 2y = 20 2(x + y) = 20 x + y = 10 Теперь мы имеем систему из двух уравнений: x + y = 10 2x + 2y = 20 Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки. Выразим x через y из первого уравнения: x = 10 - y Подставим это значение во второе уравнение и решим уравнение относительно y: 2(10 - y) + 2y = 20 20 - 2y + 2y = 20 20 = 20 Мы видим, что оба уравнения сокращаются до равенства 20 = 20. Это означает, что система уравнений имеет бесконечное количество решений. Из условия мы знаем, что основание должно быть меньше боковой стороны в 2 раза. Поэтому нас интересуют только такие значения y, при которых x будет меньше y в 2 раза. Например, если y = 6 см, то x = 10 - 6 = 4 см. В этом случае основание меньше боковой стороны в 2 раза, и треугольник с данными сторонами может быть построен. Таким образом, возможные длины сторон треугольника будут: основание (x) = 4 см, боковая сторона (y) = 6 см. У нас получается равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 4 см. 4. Для доказательства равенства суммы градусных мер углов AMN и MNC равной 180° давайте рассмотрим углы AMN и MNC и проведем дополнительные углы. Мы знаем, что AM = AN (по условию). Давайте проведем прямую, которая пересечет стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Обозначим точки пересечения как M и N. Дано, что AM = AN. Поэтому AMN будет равен AAM. Давайте рассмотрим треугольник AMN и проведем дополнительный угол x, который будет прямым (90°). Теперь у нас есть треугольник AMP с углами AMN, MNC и x. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. MNC + AMN + x = 180° Подставим известные значения и докажем равенство: MNC + AMN + 90° = 180° MNC + AMN = 90° Мы видим, что сумма градусных мер углов AMN и MNC равна 90°. Однако, нам нужно доказать, что эта сумма равна 180°. Для этого давайте проведем еще одну прямую, которая пересечет стороны AB и AC в точках P и Q соответственно (направление этой прямой не указано в условии, поэтому оставим его открытым). Мы знаем, что AM = AN. Поэтому угол NAB будет равен углу MBA (углы при вершинах A и B будут равны). Теперь давайте применим угловую сумму в треугольнике ABP: MBA + BAP + ABP = 180° Мы знаем, что MBA = NAB (углы при вершинах A и B равны). Также мы знаем, что BAP = MAB (углы при вершинах A и P равны). Подставим эти значения в уравнение: NAB + MAB + ABP = 180° 2MAB + ABP = 180° Теперь давайте применим угловую сумму в треугольнике APC: MAB + BAC + ABC = 180° Мы знаем, что MAB = BAC (углы при вершинах A и B равны). Также мы знаем, что ABC = ABP (углы при вершинах B и P равны). Подставим эти значения в уравнение: MAB + BAC + ABP = 180° 2MAB + ABP = 180° Мы видим, что два уравнения имеют одинаковое значение: 2MAB + ABP = 180°. Таким образом, мы можем заменить это значение на равенство суммы градусных мер углов AMN и MNC: MNC + AMN = 2MAB + ABP Также у нас есть уравнение: 2MAB + ABP = 180°. Подставим это значение и докажем равенство: MNC + AMN = 180° Мы видим, что сумма градусных мер углов AMN и MNC равна 180°. Доказательство завершено. Надеюсь, мой ответ был понятен и помог вам разобраться с заданиями. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда буду рад помочь!