Контрольная работа № 3 Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников.
Вариант 1
1. Стороны угла М пересекают параллельные прямые AB и CD, (точка А
между М и C) MA=12 см, АС=4 см, BD=6 см. Найдите отрезок MB.
2. Треугольники ABC и A1, B1, C1, подобны, причем сторонам АВ и ВС соответ-
ствуют стороны А1, В1, и B1, C1, Найдите неизвестные стороны этих тре-
угольников, если AB=8 см, ВС=10 см, AB =4 см, АС=6 см.
3. Отрезок AK — биссектриса треугольника ABC, AB=12 см, ВК=8 см, СК=18
см. Найдите сторону АС. .
4. На стороне BC треугольника АВС отметили точку М так, что BM : MC= 2:9.
Через точку М провели прямую, которая параллельна стороне AC треуголь-
ника и пересекает сторону AB в точке К. Найдите сторону AC, если MK =18
см.
5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке
О, ВС: AD = 3:5, BD=24 см. Найдите отрезки BO и OD.
6. Через точку М, находящуюся на расстоянии 15 см от центра окружности ра-
диусом 17 см, проведена хорда, которая делится точкой М на отрезки, дли-
ны которых относятся как 1:4. Найдите длину этой хорды.​

1. Нам дан треугольник МАС, в котором известны следующие стороны: MA = 12 см, АС = 4 см, и преобразуем данные в виде пропорции MB:BD = MA:AC. Так как BD = 6 см, получаем MB:6 = 12:4. Решим эту пропорцию: MB/6 = 12/4. Умножаем обе стороны на 6: MB = (12/4) * 6 = 3 * 6 = 18 см. Таким образом, отрезок MB равен 18 см.

2. У нас есть два подобных треугольника: ABC и A1B1C1. Мы знаем, что стороны АВ и ВС соответствуют сторонам А1В1 и В1С1, то есть AB/А1В1 = ВС/В1С1. Подставляем значения сторон: 8/А1В1 = 10/В1С1. Поскольку АB = 4 см, а ВС = 6 см, подставляем эти значения: 4/А1В1 = 6/В1С1. Теперь мы можем решить эту пропорцию: 4/6 = А1В1/В1С1. Получаем А1В1 = (4*В1С1)/6. Теперь нам нужно найти соотношение между стороной АС треугольника АВС и стороной С1С1 треугольника A1B1C1. Зная, что С1С1 = (АС * В1С1) / ВС, подставляем значения: С1С1 = (6*В1С1)/6 = В1С1. Таким образом, ответом будет А1В1 = В1С1.

3. Отрезок АК является биссектрисой треугольника ABC, что означает, что он делит сторону АВ пополам. Значит, АК = AB/2 = 12/2 = 6 см. Теперь у нас есть треугольник АКС, где известны стороны АК = 6 см и ВК = 8 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны АС: АС^2 = АК^2 + СК^2. Подставляем значения: АС^2 = 6^2 + 18^2. Вычисляем: АС^2 = 36 + 324 = 360. Извлекаем квадратный корень: АС = √360 = √36 * √10 = 6√10 см. Таким образом, сторона АС равна 6√10 см.

4. У нас есть треугольник АВС, где сторона ВС параллельна прямой, проходящей через точку М. Также дано, что BM:MC = 2:9, то есть отношение длин сторон MB и MC равно 2:9. Представим длины сторон MB и MC как 2x и 9x, где x - это определенное число. Теперь нам нужно найти сторону АС. Отношение сторон BM и MC также является отношением отрезков BK и KC, поскольку точка К делит сторону МС в соответствии с этим отношением. То есть, BK:KC = BM:MC = 2:9. Теперь зная, что отношение длин БК и КС равно 2:9, можно записать следующую пропорцию: BK/KC = 2/9. Пусть BK равно 2y и KC равно 9y, где y - это определенное число. Теперь можем записать равенство AC = AK + KC и подставить значения: AC = 18 + 9y. Осталось найти длину стороны AC, если известно, что MK = 18 см. С помощью теоремы Пифагора, можем записать AC^2 = AK^2 + KC^2 = 18^2 + (9y)^2. Теперь подставляем значения и решаем уравнение: AC^2 = 324 + 81y^2. Так как по условию MK = 18 см, то BK = BM - MK = 2x - 18 и KC = MC + MK = 9x + 18. Подставляем эти значения в выражение для стороны AC: AC = BK + KC = 2x - 18 + 9x + 18 = 11x. Таким образом, получаем, что AC = 11x. Теперь подставляем это значение в уравнение AC^2 = 324 + 81y^2: (11x)^2 = 324 + 81y^2. Раскрываем скобки и получаем 121x^2 = 324 + 81y^2. Решаем это уравнение относительно y^2: 81y^2 = 121x^2 - 324. Делим обе стороны на 81: y^2 = (121x^2 - 324)/81. Умножаем повторно на 81 и получаем 81y^2 = 121x^2 - 324. Теперь нам нужно сравнить правую часть уравнения с изначальным выражением для AC^2, которое равно 324 + 81y^2. Подставляем полученное значение для y^2 в уравнение AC^2, получаем AC^2 = 324 + 121x^2 - 324. После сокращения 324 получаем AC^2 = 121x^2. Берем квадратный корень из обеих сторон: AC = √(121x^2). Получаем AC = 11x. Используя значение стороны AC = 11x, можем записать уравнение MB/MC = BM/MK: MB/9x = 2x/18. Решаем это уравнение: MB = (2x * 9x) / 18 = 18x^2/ 18 = x^2. Окончательно получаем AC = 11x и MB = x^2.

5. Мы имеем трапецию ABCD, в которой диагонали BD и AC пересекаются в точке О. Зная, что BC параллельна AD, можем использовать теорему Фалеса, чтобы найти соотношение между отрезками BO и OD. Согласно теореме Фалеса, отношение длины отрезка BO к длине отрезка DO равно отношению длины стороны BC к длине стороны AD. По условию отношение BC к AD равно 3:5, значит BO/OD = BC/AD = 3/5. Зная, что BD имеет длину 24 см, можно использовать это отношение для нахождения значений BO и OD. Подставляем значение BD=24 см: BO/OD = 3/5. Теперь можем записать уравнение BO = (3/5) * OD и OD = (5/3) * BO. Таким образом, мы получаем систему уравнений для нахождения BO и OD: BO = (3/5) * OD и OD = (5/3) * BO. Мы можем решить эту систему, подставив значение OD из второго уравнения в первое: BO = (3/5) * ((5/3) * BO). Раскрываем скобки и упрощаем: BO = (3/5) * (5/3) * BO. Сокращаем общий множитель 3: BO = 1 * BO, что означает, что BO равно BO. Таким образом, решение этой системы уравнений будет BO = OD.

6. У нас есть окружность радиусом 17 см и точка М находится на расстоянии 15 см от центра окружности. Проведена хорда, которая делится точкой М на отрезки, длины которых относятся как 1:4. Пусть хорда делится на отрезки AM и MB, причем AM - это короткий отрезок длиной x, а MB - это длинный отрезок длиной 4x. Теперь мы можем использовать теорему Фалеса, чтобы найти требуемую длину хорды. Согласно теореме Фалеса, отношение длины отрезка AM к длине отрезка MB должно быть равно отношению длины отрезка AO (радиус окружности) к длине отрезка BO (отрезок радиуса окружности, проведенный из центра до точки пересечения с хордой). То есть AM/MB = AO/BO. Подставляем значения AM = x, MB = 4x, AO = 17 см, BO = 17 - 15 = 2 см (так как точка М находится на расстоянии 15 см от центра окружности). Получаем x/(4x) = 17/2. Упрощаем пропорцию: 1/4 = 17/2. Переставляем числа в пропорции: 2/17 = 4/1. Теперь мы можем записать уравнение: 2 = 4 * 17. Умножаем: 2 = 68. Очевидно, что это не верно. Значит, в задаче невозможно найти точное значение длины хорды.