Контрольная работа №3 по геометрии 9 класс
Длина окружности и площадь круга
Вариант 1
1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.
2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72 дм2.
3. найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если её градусная мера равна 150о
Вариант 2
1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в неё правильного шестиугольника равна .
3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120о, а радиус круга равен 12 см.

и 2 вариант

Добрый день, ученик! Давайте решим задачи по геометрии поочередно.

Вариант 1:
1. Для начала, нам нужно найти радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. В нашем случае, периметр равен 45 см. У правильного треугольника все стороны равны, поэтому длина каждой стороны равна 45 см / 3 = 15 см. Обозначим сторону треугольника как "а". Теперь можем использовать формулу для длины окружности: C = 2πr, где C - длина окружности, π - число π (пи), r - радиус окружности. Длина окружности равна периметру треугольника, поэтому 45 см = 2πr. Выразим радиус r: r = 45 см / (2π) ≈ 7.16 см. Таким образом, радиус окружности равен примерно 7.16 см.
Для нахождения стороны восьмиугольника воспользуемся свойством равнобедренных восьмиугольников. В таком восьмиугольнике сторона равна радиусу окружности. Получается, сторона восьмиугольника равна 7.16 см.

2. Прямоугольник, вписанный в окружность, имеет форму квадрата. Мы знаем, что площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72 дм². Площадь квадрата можно найти, возводя сторону в квадрат. Пусть сторона квадрата равна "а". Тогда площадь квадрата равна а². У нас дана площадь 72 дм², поэтому а² = 72 дм². Чтобы найти сторону "а", возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения: а = √72 дм ≈ 8.49 дм. Значит, сторона квадрата равна примерно 8.49 дм.

3. Чтобы найти длину дуги окружности, мы должны использовать формулу для нахождения длины дуги: L = (градусная мера / 360°) * 2πr, где L - длина дуги, градусная мера - угол, занимаемый дугой, r - радиус окружности. В нашем случае градусная мера равна 150°, а радиус окружности равен 3 см. Подставим значения в формулу: L = (150° / 360°) * 2π * 3 см ≈ 3.14 см.
Таким образом, длина дуги окружности радиуса 3 см с углом 150° составляет примерно 3.14 см.

Вариант 2:
1. По аналогии с предыдущим вопросом, найдем радиус окружности, в которую вписан правильный шестиугольник. Периметр шестиугольника равен сумме длин его сторон. В нашем случае, периметр равен 48 см. У правильного шестиугольника все стороны равны, поэтому длина каждой стороны равна 48 см / 6 = 8 см. Обозначим сторону шестиугольника как "а". Теперь можем использовать формулу для длины окружности: C = 2πr, где C - длина окружности, π - число π (пи), r - радиус окружности. Длина окружности равна периметру шестиугольника, поэтому 48 см = 2πr. Выразим радиус r: r = 48 см / (2π) ≈ 7.64 см. Таким образом, радиус окружности равен примерно 7.64 см.
Чтобы найти длину стороны квадрата, вписанного в окружность, нам нужно знать его связь с радиусом окружности. В правильном шестиугольнике, вписанном в окружность, сторона равна радиусу окружности. Поэтому сторона квадрата равна 7.64 см.

2. Теперь перейдем ко второму вопросу. Мы знаем площадь вписанного в окружность шестиугольника, но она не указана в задании. Вероятно, это ошибка. К сожалению, я не могу решить этот вопрос без этой информации. Рекомендую обратиться к учителю или организатору контрольной работы для получения правильного варианта задачи.

3. Найдем площадь кругового сектора. Площадь кругового сектора можно найти, используя следующую формулу: S = (градусная мера / 360°) * π * r², где S - площадь сектора, градусная мера - угол, занимаемый сектором, π - число π (пи), r - радиус круга. В нашем случае градусная мера равна 120°, а радиус круга равен 12 см. Подставим значения в формулу: S = (120° / 360°) * π * 12 см * 12 см ≈ 150 см².
Таким образом, площадь кругового сектора с градусной мерой 120° и радиусом 12 см составляет примерно 150 см².

Надеюсь, мои объяснения были понятными и помогли вам решить эти задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!