Контрольная работа № 2 по теме «Правильные многоугольники» Вариант 1 1. Найдите углы правильного сорокаугольника. 2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см. 3. В окружность вписан квадрат со стороной 8 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника — 4 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника. 5. Сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны 40° и 80°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины. Если можно с решением

1. Для нахождения углов правильного сорокаугольника, мы можем использовать формулу:
Угол = 180° * (n-2) / n, где n - количество сторон многоугольника.

Для сорокаугольника:
Угол = 180° * (40-2) / 40
Угол = 180° * 38 / 40
Угол = 171°

Таким образом, углы правильного сорокаугольника равны 171°.

2. Для нахождения длины окружности, вписанной в правильный треугольник, мы можем использовать формулу:
Длина окружности = 2 * π * r, где r - радиус вписанной окружности.

Для правильного треугольника со стороной 12 см, радиус вписанной окружности можно найти, разделив сторону на √3:
Радиус = 12 см / √3 ≈ 6.93 см

Теперь подставим значение радиуса в формулу:
Длина окружности = 2 * π * 6.93 ≈ 43.53 см

Таким образом, длина окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см, составляет примерно 43.53 см.

3. Для нахождения стороны правильного шестиугольника, описанного около квадрата со стороной 8 см, мы должны использовать связь между описанными окружностями и многоугольниками.

В случае правильного многоугольника, описанного около окружности, радиус описанной окружности равен половине стороны многоугольника.

Для квадрата со стороной 8 см, радиус описанной окружности будет равен половине стороны:
Радиус = 8 см / 2 = 4 см

Теперь, чтобы найти сторону правильного шестиугольника, описанного около данной окружности, мы должны умножить радиус на 2.

Сторона = 4 см * 2 = 8 см

Таким образом, сторона правильного шестиугольника, описанного около данной окружности, составляет 8 см.

4. Для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, мы можем использовать формулу:
Радиус = a/2 * cot(180°/n), где a - сторона многоугольника, n - количество сторон многоугольника.

Для многоугольника со стороной 4 см и радиусом описанной окружности 4 см, мы можем найти количество сторон:
4 см/2 * cot(180°/n) = 4 см

Упростив выражение, получаем:
cot(180°/n) = 1

Так как котангенс принимает значение 1 при угле 45°, имеем:
180°/n = 45°

Решим уравнение:
180° = 45° * n
n = 180° / 45°
n = 4

Таким образом, количество сторон многоугольника равно 4, что означает, что это квадрат.

Теперь мы можем найти радиус окружности, вписанной в многоугольник:
Радиус = 4 см/2 * cot(180°/4)
Радиус = 2 см * 0.5
Радиус = 1 см

Таким образом, радиус окружности, вписанной в четырехугольник, составляет 1 см.

5. Чтобы найти длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, мы можем использовать формулу:
Длина дуги = 2 * π * r * (угол/360°), где r - радиус описанной окружности, угол - величина угла, на который делят окружность.

Для треугольника с радиусом описанной окружности 6 см и углами 40° и 80°:
Длина дуги 1 = 2 * π * 6 * (40°/360°)
Длина дуги 1 = 2 * π * 6 * (1/9)
Длина дуги 1 ≈ 4.19 см

Длина дуги 2 = 2 * π * 6 * (80°/360°)
Длина дуги 2 = 2 * π * 6 * (2/9)
Длина дуги 2 ≈ 8.38 см

Таким образом, длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, составляют приблизительно 4.19 см и 8.38 см.