Контрольная работа № 1 по теме «Решение треугольников» Вариант 1 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону BC треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 7с м, 10 см и 13 см. 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см. 6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Задание номер 1, остальные постараюсь прекратить к комментариям

1. Чтобы найти третью сторону треугольника, можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема гласит: квадрат третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В данном случае, у нас две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Подставляя значения в формулу, получаем:

c^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(60°)
c^2 = 36 + 64 - 96*cos(60°)
c^2 = 100 - 96*(1/2)
c^2 = 100 - 48
c^2 = 52
c = √52 ≈ 7.21 см

Таким образом, третья сторона треугольника ≈ 7.21 см.

Чтобы найти площадь треугольника, можем воспользоваться формулой площади треугольника: площадь = 1/2 * a * b * sin(θ), где а и b - стороны треугольника, а θ - угол между этими сторонами.

В данном случае, у нас есть стороны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Подставляя значения в формулу, получаем:

площадь = 1/2 * 6 * 8 * sin(60°)
площадь = 24 * √3 / 2
площадь = 12 * √3
площадь ≈ 20.78 см^2

Таким образом, площадь треугольника ≈ 20.78 см^2.

2. Мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны BC треугольника. Эта теорема гласит: отношение каждой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково.

В данном случае, у нас дано AB = 3 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Мы хотим найти сторону BC. Подставляя значения в формулу:

BC / sin(120°) = AB / sin(45°)
BC / sin(120°) = 3 / sin(45°)
BC = 3 * sin(120°) / sin(45°)
BC = 3 * √3 / (1/√2)
BC = 3 * √3 * √2
BC = 3 * √6
BC ≈ 9.48 см

Таким образом, сторона BC треугольника ≈ 9.48 см.

3. Чтобы определить, к какому типу принадлежит треугольник (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Эта теорема гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае у нас есть треугольник со сторонами 7см, 10см и 13см. Мы можем проверить, существует ли треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем длина третьей стороны.

В данном случае сумма сторон 7см и 10см равна 17см, что больше 13см. Также, сумма сторон 7см и 13см равна 20см, что больше 10см. И сумма сторон 10см и 13см равна 23см, что больше 7см. Значит, треугольник существует.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Подставляя значения в теорему Пифагора:

(7см)^2 + (10см)^2 = (13см)^2
49см^2 + 100см^2 = 169см^2
149см^2 = 169см^2

Уравнение не выполняется, значит треугольник не является прямоугольным.

Таким образом, треугольник является остроугольным.

4. У нас есть треугольник, у которого одна сторона на 8см больше другой. Также, угол между этими сторонами равен 120°, а третья сторона равна 28см. Мы должны найти периметр треугольника.

Давайте назовем одну сторону треугольника x см, и другую сторону (большую) x+8 см. Тогда, сумма длин всех сторон треугольника равна периметру.

Периметр треугольника = x + (x+8) + 28
Периметр треугольника = 2x + 36

Мы также знаем, что угол между этими сторонами равен 120°. Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти x:

(28)^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2x(x+8)cos(120°)
784 = x^2 + (x^2 + 16x + 64) - 2x(x+8) * (-1/2)
784 = x^2 + (x^2 + 16x + 64) + x(x+8)
784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x
784 = 3x^2 + 24x + 64
3x^2 + 24x + 64 - 784 = 0
3x^2 + 24x - 720 = 0
x^2 + 8x - 240 = 0
(x + 20)(x - 12) = 0
x + 20 = 0 или x - 12 = 0
x = -20 или x = 12

Ответом на задачу может быть только положительное значение x, поэтому x = 12 см.

Подставим x = 12 в формулу для периметра:

Периметр треугольника = 2x + 36
Периметр треугольника = 2*12 + 36
Периметр треугольника = 24 + 36
Периметр треугольника = 60 см

Таким образом, периметр треугольника равен 60 см.

5. Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, мы можем использовать формулу радиуса описанной окружности треугольника:

Радиус окружности = a * b * c / 4 * площадь треугольника,

где a, b и c - стороны треугольника.

В данном случае, у нас есть стороны 13 см, 20 см и 21 см. Мы также можем найти площадь треугольника, используя формулу Герона, которая гласит: площадь =√p(p-a)(p-b)(p-c), где p - полупериметр треугольника.

Найдём полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2
p = (13 + 20 + 21) / 2
p = 54 / 2
p = 27

Теперь, используя формулу площади Герона:

площадь = √27(27-13)(27-20)(27-21)
площадь = √27*14*7*6
площадь = √5292
площадь ≈ 72.68 см^2

Теперь, используя формулу для радиуса описанной окружности:

Радиус окружности = 13 * 20 * 21 / 4 * площадь треугольника
Радиус окружности = 13 * 20 * 21 / (4 * 72.68)
Радиус окружности = 5460 / 290.72
Радиус окружности ≈ 18.80 см

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, составляет приблизительно 18.80 см.

6. У нас есть треугольник со сторонами 6 см и 8 см, и медиана к третьей стороне равна некоторому значению. Мы должны найти неизвестную сторону треугольника.

Мы можем использовать формулу медианы треугольника, которая гласит:

Медиана = 1/2 * √(2(a^2 + b^2) - c^2),

где a и b - стороны треугольника, а c - неизвестная сторона.

В данном случае, у нас есть стороны 6 см и 8 см, и медиана равна некоторому значению. Мы можем подставить значения в формулу:

√(2(6^2 + 8^2) - c^2) = смедиана

√(2(36 + 64) - c^2) = смедиана

√(2(100) - c^2) = смедиана

√(200 - c^2) = смедиана

Таким образом, неизвестная сторона треугольника равна √(200 - c^2).

Мы не можем найти конкретное значение неизвестной стороны треугольника, потому что нам не дано значение медианы, однако мы можем выразить неизвестную сторону треугольника через медиану, используя эту формулу.